关于临界度量和Ricci孤立子的刚性问题及其几何结构

A Riemannian metric is said to be critical if its Ricci curvature tensor satisfies a Bochner type formula, which include Einstein metrics, locally conformally flat metrics with constant scalar curvature. Ricci solitons also can be seen as a critical metrics in the weighted sence. In this project, we will first use the stress-energy tensors to establish monotonicity formulae for the relevant geometric quantities on smooth metric measure space and locally conformally flat manifolds, and then deduce vanishing theorems under growth conditions, and furthermore, give their geometric applications. At the same time, by caculating the Laplacian of some geometric quantities, we can get a general differential inequality. We will investigate the vanishing theorems for soluitions of such inequality and give applications on some specific models, and study pointwise pinching problem by generalize maximum principle. Another major object of the project is the geometric structure and the global rigidity phenomenon of Ricci solitons. Finally, we will study the Bernstein type problem of submanifolds which have critical metrics. and the vanishing theorems of harmonic p-forms on Ricci solitons and conformally flat manifolds.

一个黎曼度量称为临界度量，如果它的Ricci曲率张量满足某种Bochner型公式，其中包括爱因斯坦度量，具有常数量曲率的局部共形平坦度量。Ricci孤立子在weighted意义下也可以看作具有临界度量。在本项目，我们将首先利用应力-能量张量在光滑度量测度空间和局部共形平坦流形上建立相关几何量的单调不等式，然后在增长性条件下得到消灭定理并给出几何应用。同时我们将通过计算某些几何量的Laplacian得到一类微分不等式，然后研究其解的消灭定理，并应用到具体的几何模型中得到刚性定理，同时还将利用广义极大值原理来研究点点pinching问题。本项目的另一个主要方面是研究Ricci孤立子的几何结构，以及整体刚性问题。最后将研究与上述几何模型相关的子流形的Bernstein型定理，以及Ricci孤立子和共形平坦流形上调和p-形式的消灭定理。

临界黎曼度量是微分几何的一个重要研究对象，它的Ricci曲率张量必须满足某种Bochner型公式。具体的几何模型包括爱因斯坦度量，具有常数量曲率的局部共形平坦度量等。临界度量的曲率pinching现象在整体微分几何中扮演着重要的角色。在本项目，我们利用应力-能量张量分别在光滑度量测度空间和具有临界度量黎曼流形上建立相关几何量的单调不等式，然后在增长性条件下分别得到了消灭定理，并给出了几何应用。同时我们通过计算某些几何量的Laplacian得到一类重要的微分不等式，并研究对应解的消灭定理，应用到具体的几何模型中得到了一些刚性定理。我们证明了完备黎曼流形上F-调和映照的几个刘维尔定理，得到了整体极小图的一个伯恩施坦型定理。关于L^2可积或一般调和p-形式，通过假设逐点或者整体积分曲率条件，我们在局部共形平坦流形或具有充分小Weyl张量的一般流形上证明了几个消灭定理。其中涉及到的几何条件还有concircular 曲率, 正Yamabe不变量, the weighted Poincare 不等式以及纯曲率张量等。. 我们研究了子流形在第二基本形式条件下的体积增长，讨论了子流形上薛定谔算子的指标与其几何结构的关系。当子流形具有平坦法丛时，我们计算出了任意调和p-形式的具体的Weitzenbock公式。然后在不同的几何或分析条件下证明了子流形上调和p-形式的消灭和有限性定理，这些假设条件涉及全曲率，特征值下界，薛定谔算子的指标，几何不等式，或无迹第二基本形式模长平方等。