瑞奇调和流与瑞奇调和孤立子的几何分析性质研究

Geometric analysis is an acitve field, and many important problems are solved using geometric flow in the past several decades, such as Poincare conjecture and Sphere Theorem. This project is concerned with the geometric and analytic properties of Ricci harmonic flow and Ricci harmonic solition. 1. About the Ricci harmonic flow, on one hand, assuming the boundedness of the scalar curvature, we consider the distance distortion estimate, construct a cutoff function whose time derivative and Laplacian are bounded, then we obtain the mean value inequality for the conjugate heat equation, at last, using above we derive the heat kernel bound of Gaussian type. On the other hand, assuming the boundedness of the Scalar curvature as before, we prove the backward pseudolocality property for the Ricci harmonic flow, combined with the muti-scale induction argument, we get the uniform control of the integral norm of the Riemannian curvature operator. This can be used to study the asymptotic behaviour and extension problem of the Ricci harmonic flow, and is closely related to the finite time blow up conjecture of the scalar curvature. 2. We consider Ricci harmonic soliton. On one hand, we study the decay estimate of its scalar curvature and compactness under the positive curvature condition. On the other hand, we study the compactness under various conditions, these will be important to study the asymptotic behaviour at infinity and classification.

几何分析是非常活跃的研究领域，在过去的几十年里许多重要的几何拓扑问题得到解决，比如庞加莱猜想和球定理。本项目研究瑞奇调和流与瑞奇调和孤立子的几何分析性质。1. 关于瑞奇调和流，假设数量曲率有界，我们考虑其距离函数的扭曲估计，构造出时间导数与 Lapacian 有界的截断函数，进而得到共轭热方程的平均值不等式，最后导出共轭热核的高斯型上下界估计。另一方面，同样假设数量曲率有界，我们证明瑞奇调和流的 Backward Pseudolocality 性质，结合多尺度的数学归纳法，得到黎曼曲率张量积分模的一致控制。这可用来研究瑞奇调和流的渐近行为与延拓，与数量曲率有限时间爆破猜想密切相关。2. 我们考虑瑞奇调和孤立子。一方面我们研究它的数量曲率的衰减估计以及正曲率条件下的分类，另一方面我们研究它在不同曲率条件下的紧性。这对研究瑞奇调和孤立子在无穷远处的渐近行为与分类有重要意义。

本项目主要研究了瑞奇调和流的几何分析性质，主要包括：积分曲率条件下的瑞奇调和流的延拓问题：假设黎曼曲率张量的时空L^{(n+2)/2}模有限，得到该流可以延拓；假设瑞奇曲率有下界以及数量曲率的时空L^{(n+2)/2}模有限，得到该流可以延拓。沿着瑞奇调和流，假设数量曲率有界，得到Backward Pseudolocality定理，作为应用，证明极限为奇点余维数至少为4的空间。得到了沿着瑞奇调和流的强Log-Sobolev不等式,作为应用，导出了共轭热核的积分曲率界并得到纳什熵的Lipschitz连续性，最后得到瑞奇调和流的小能量正则性.利用得到的积分估计，在假设数量曲率有界的条件下，得到了热核的高斯型上下界估计，这对于研究数量曲率爆破问题有极大帮助。同时也研究了梯度瑞奇孤立子的分类问题，假设瑞奇曲率沿着测地线的积分非负，我们导出分裂定理；假设瑞奇曲率小于(n-2)/(2 /sqrt(n))，我们得到该孤立子只有一个端，类似的结果对梯度扩张孤立子同样成立。研究了Alexandrov空间中的调和映射，得到调和映射沿着Gromov-Hausdorff收敛是保持的。