具有不同空间结构的几类泛函方程的稳定性研究

Hyers-Ulam stability is the important issue in the study of the theory of functional equations. It links with the theory of shadowing of approximate trajectories, chaotic control and error estimation of computational mathematics. In this project, we will try to solve the Hyers-Ulam stability for functional equations with different classes of space structures. We investigate the stability of additive functional equations of two forms: of “Jensen” and “Jensen type” in multi-Banach spaces, we also establish the stability conditions on bounded closed ball restricted domain and precise estimate the asymptotic behavior of functional equations of these types by using the linear transformation. We prove the stability of the quadratic functional equation by applying the approximation method of the sequence of functions in Serstnev probabilistic normed spaces, considering the continuity of the quadratic mapping, discussing the completeness of spaces by using Schwaiger theorem. And in non-Archimedean fuzzy normed space, we prove the stability of mixed quadratic and cubic functional equations by using different methods, by weakening the conditions of the theorem, apply our results to other normed spaces, and looking for some examples to illustrate what kind of conditions is indispensable to the stability of functional equations. According to these studies, we have a deep characterization of Hyers-Ulam stability properties for functional equations with different space structures, this will supply potential to a breakthrough to solve stability of other types of functional equations.

Hyers-Ulam稳定性是泛函方程理论研究中的重要问题。它与伪轨跟踪、混沌控制及计算数学中的误差估计有着密切联系。本项目尝试解决具有不同空间结构的几类泛函方程的Hyers-Ulam稳定性。在多重Banach空间中，证明“Jensen”和“Jensen型”可加泛函方程的稳定性，构造有界闭球限制区域，解决其具有稳定性的条件，利用线性变换对方程的渐近性进行精确地估计；在Serstnev概率赋范空间中，运用函数序列逼近方法证明二次泛函方程的稳定性，考虑二次映射的连续性，利用Schwaiger定理证明空间的完备性；在non-Archimedean模糊赋范空间中，利用不同的方法证明混合型二次与三次泛函方程的稳定性，通过弱化定理条件将结果应用到其他空间中，并寻找例子说明什么样条件对方程的稳定性是不可缺的。这些研究能深入刻画不同空间结构泛函方程的稳定性性质，为解决其他类型泛函方程的稳定性提供可能突破口。

Hyers-Ulam稳定性是泛函方程理论研究中的重要问题。它考察了在泛函方程发生扰动时，方程的真解与近似解的跟踪依赖程度，且它与伪轨跟踪、混沌控制以及计算数学中的误差估计有着密切的联系。因此，近几十年来，对泛函方程的Hyers-Ulam稳定性研究成为一个热点课题。本项目研究了具有不同空间结构的几类泛函方程的Hyers-Ulam稳定性。在多重Banach空间中，通过对方程中的变量进行不同取值，构造出Cauchy序列，证明了“Jensen”和“Jensen型”可加泛函方程的稳定性，构造有界闭球限制区域，解决了具有稳定性的条件，利用线性变换对方程的渐近性进行精确地估计。在Serstnev概率赋范空间中，利用二次映射关于某一控制函数在满足一致逼近与非一致逼近条件下，证明了两类不同的二次泛函方程的稳定性，及唯一的二次映射在满足某条件下的一致性性质。在non-Archimedean模糊赋范空间中，针对方程发生扰动时控制函数所满足的不同条件及方程中的变量不同取值，证明了混合型二次与四次泛函方程的稳定性，通过弱化定理条件将结果应用到其他赋范空间中，并通过例子说明了什么样条件对方程的稳定性是不可缺的。借助于“Jensen型”三次泛函方程和n维三次泛函方程，给出了两类型的三次模糊集值泛函方程的定义，利用不动点择一性方法，证明了这两类型的三次模糊集值泛函方程的稳定性，所取得的结果可以分别看作是单值泛函方程和集值泛函方程的稳定性的推广。在直觉模糊赋范空间、矩阵赋范空间与模糊三元Banach代数等空间中，研究了相关的几类泛函方程的Hyers-Ulam稳定性结果，进一步了解泛函方程与在此空间结构的内在关系。这些研究能深入刻画不同空间结构泛函方程的稳定性性质，为解决其他类型泛函方程的稳定性提供可能突破口。