异质动态网络上年龄结构传染病模型及算法研究

The spread of infectious diseases is essentially a transmission process of pathogens on heterogeneous and dynamic social network which is formed by human contacts. Individuals' age and course of disease influence the dynamical evolution of networks and transmission of diseases. At present, age-structured epidemic models are mostly based on uniform networks, while only several age-structured epidemic models on heterogeneous networks are limited to static networks, and are lack of theoretical analysis and efficient numerical algorithm. To this end, this project will build age-structured or class age-structured (induced by course of disease) epidemic models on heterogeneous and dynamic networks. We will study thresholds of the models such as basic reproduction number, the well-posedness of solution, as well as the dynamic behaviors such as stability of equilibriums. We will study the effects of dynamic changing of network topology and age or class age on the transmission of diseases. In addition, efficient numerical algorithms are needed in applications because that the model consist of multi-variable partial integro-differential equations. The existing algorithms, which are available to single-variable equation, cannot meet the demand. We will give the efficient numerical algorithms for the model with the help of finite element method, finite difference method and numerical integration. The convergence and stability of numerical algorithms will be studied. The results can not only perfect basic theory about age-structured epidemic models on complex networks, but also provide efficient numerical algorithms for applied research about some diseases such as AIDS and tuberculosis.

传染病的传播本质上是人类接触行为构成的异质动态社会网络上病原体的传播过程，个体的年龄和病程影响网络的动态演化与疾病的传播。目前，考虑年龄结构的传染病模型大多基于均匀网络，鲜有的异质网络年龄结构模型又仅限于静态网络，不能反映网络动态演化对疾病传播的影响，且缺乏对模型的理论分析与高效算法。为此，本项目将建立异质动态网络上年龄结构或病程导致的类年龄结构传染病模型，研究模型的基本再生数等阈值，系统解的适定性、平衡点的稳定性等动力学行为，研究网络结构的动态变化及年龄或病程对疾病传播的影响。另外，因为该类模型一般是多变量的偏积分微分方程，在应用中需要高效算法，已有的单变量数值算法不能满足现有需求，我们将进一步利用有限元、有限差分及数值积分给出模型高效的数值算法，研究算法的收敛性、稳定性。该项成果不仅可完善网络上年龄结构传染病模型的基础理论，而且为艾滋病、肺结核等相关疾病的应用研究提供可靠高效的算法。

本项目基于传染病传播动力学、复杂网络、微分方程定性和稳定性、微分方程数值方法等理论，研究了异质动态网络上年龄结构传染病模型及其数值方法，主要研究内容如下：建立了具有出生死亡和感染年龄的复杂网络SIR对逼近模型，计算得到了模型的基本再生数并分析了无病平衡点的稳定性，通过数值模拟研究了出生死亡和感染年龄对疾病传播的影响。建立了具有感染年龄和非马尔科夫恢复过程的双菌株网络对逼近模型，通过对等价的积分-微分系统进行严格的分析，得到了任意恢复时间分布情形下的基本再生数，利用数值模拟，研究了三种不同的恢复时间分布对再生数的影响，讨论了最终染病规模，并估计了最终染病规模的上界和下界。针对复杂网络反应-对流-扩散传染病模型，研究了模型产生的斑图及网络拓扑对传染病传播的影响。该类问题的特殊情形对流占优模型，理论及数值方法和年龄结构模型非常类似。在年龄结构传染病模型数值方法方面，提出了一个基于方程极弱解的有限元离散格式，在保证格式收敛性的同时进一步降低了对解的正则性要求。以Legendre正交多项式的根为配置点，使用伪谱法构造了年龄结构模型的离散格式，伪谱法是构造年龄结构模型高精度离散格式的理想选择。只要模型的解充分光滑，伪谱法可以达到指数级的收敛速度。在具体应用方面，针对一般的SIR性传播疾病，建立了含病龄以及男男同性、男女异性传播的类年龄结构网络边仓室模型，利用阈值、稳定性和算子半群等理论给出了模型存在非负解的证明，分析了模型的全局动力学行为。特别地，在自主开发的软件“传染病预警地理信息平台”上，构建了可用于预测预警防控的年龄结构传染病模型数值方法模型库，该模型库囊括了年龄结构模型的多种数值方法。项目执行期间，共发表SCI学术论文13篇，培养传染病传播动力学建模、分析及数值方法方面的硕士研究生2名，其中毕业研究生1名。本项目的研究丰富了复杂网络传染病动力学理论及高效数值算法，为我校数学学科的建设和发展做出了一定贡献。