次黎曼测地线的存在性与光滑性

This subject aims at researching the problem of the existence and smoothness of sub-Riemannian geodesics. The degeneration of sub-Riemannian metric leads to produces a kind of singular geodesics which is not exists in Riemannian geometry. The singular geodesics depends on horizontal distribution, not on sub-Riemannian metric. So all these bring difficulty to the research of sub-Riemannian geodesics. We will use the idea and method of Differential Equation, Algebra Theory and Geometric Analysis to provide the condition of the existence of singular geodesics, establish the theory of the smoothness of singular geodesics and study the interior relation of singular geodesics and horizontal distribution. The existence and the smoothness of singular geodesics have not been generally resulted until now. For the existence of singular geodesics, those results mainly focus on several classes of specific Carnot Groups. The smoothness of singular geodesics is an open problem so far. So it is rather difficult for us to explore the smoothness of geodesics, we should provide new methods. The problem of sub-Riemannian geodesics is one of the important subject in geometric research. It is not only closely related with geometric measure theory, C-R geometry, etc. but also is applied to the fields of the Optimal Transportation Problem, the Optimal Control Theory and Quantum Physics. Thus the research of this subject could enrich the theory and application of Geometric Analysis..

本课题主要研究次黎曼测地线存在性与光滑性问题，由于次黎曼度量是退化的，导致产生一类不存在于黎曼几何中的奇异测地线，它只与水平分布有关，与次黎曼度量选择无关，因此给次黎曼测地线研究带来极大困难。我们将运用微分方程、代数理论和几何分析的思想和方法，给出奇异测地线的存在性条件，建立奇异测地线的光滑性理论，同时研究奇异测地线与水平分布之间的内在联系。目前，奇异测地线的存在性与光滑性还没有一般性结果，对于其存在性，结果主要集中在几类特殊Carnot群上。对于其光滑性，迄今为止，还是一个开问题。因此对于奇异测地线的光滑性探索是一个相当难的课题，需要思想方法创新。次黎曼测地线问题是几何研究的一个重要课题之一，它不仅与几何测度理论，C-R几何等密切相关，而且在最优传输问题，最优控制理论以及量子物理等领域有重要应用。开展本课题的研究，可以丰富几何分析的理论和应用。

本课题主要研究次黎曼测地线存在性与光滑性问题，由于次黎曼度量是退化的，导致产生一类不存在于黎曼几何中的奇异测地线，它只与水平分布有关，与次黎曼度量选择无关，因此给次黎曼测地线研究带来极大困难。目前，奇异测地线的存在性与光滑性还没有一般性结果，对于其存在性，结果主要集中在几类特殊Carnot群上。对于其光滑性，迄今为止，还是一个开问题。我们针对奇异测地线的存在性和光滑性进行了深入研究。 首先，我们研究了李群G上的次黎曼测地线的光滑性问题，获得了一系列研究成果。利用测地线的正态方程和非正态方程，研究了次黎曼流形上的正态极值，非正态极值以及刚性曲线和奇异测地线之间的关系，并证明了并非所有的严格非正态极值曲线都是刚性曲线，同时给出了构造非刚性曲线的严格非正态极值曲线的方法。第二，我们研究了赋予次洛仑兹度量的流形上的测地线，得到了Engel群上水平曲线的性质以及其可达集，证明了Engel群上的类时测地线的局部最长性，以及利用Jacobi椭圆函数给出了类时测地线的具体表达式等结果。最后，研究了次黎曼流形上一些算子的特征值问题，得到一些列研究结果。