含Hardy位势的边界爆破问题的定性研究

本项目为含Hardy位势且边界爆破的椭圆型偏微分方程的定性研究。椭圆型偏微分方程的边界爆破是奇异偏微分方程中非常活跃的问题，有深刻的实际和理论背景。.在此项目中，我们将利用变分方法、隐函数定理、上下解方法等非线性工具，来研究含Hardy位势的齐次Dirichlet边界条件的分支问题、含Hardy位势的边界爆破问题，特别地，对于含Hardy位势的边界爆破问题，主要研究解的存在性、唯一性、多解性、解的爆破速率估计，此项目的研究有很好的理论价值。

本项目主要研究含Hardy位势的椭圆型偏微分方程的边界爆破问题，这类问题是偏微分方程奇异理论中的热点问题。我们给出了如下研究结果。. 1. 对含两种Hardy位势的广义Logistic方程，当权函数是正连续函数时，研究了问题解的一些定性性质。具体地，我们给出：当参数大于一个临界值时，问题有最小正解和最大正解；证明了最小正解在边界（原点）是爆破的，同时给出最小正解和最大正解在边界的爆破速率估计。. 2. 对含两种Hardy位势的广义Logistic方程，当权函数是退化时，给出了问题解的一些定性性质。具体地，我们得到：当参数在一个临界区间时，问题有最小正解和最大正解；证明了最小正解在边界（原点）是爆破的，并给出爆破速率估计；当参数大于等于上临界值时，问题没有正解。