基于代数几何的理想插值问题的研究

In scientific research and engineering practice, many problems are nonlinear. One of the important methods to deal with these issues is the approximation. Therefore, the approximation theory has been subject to the attention by the researchers. Due to the geometric distribution of interpolation nodes, the problem of multivariate polynomial interpolation is more complicated than the univariate case. The structure of the interpolation space, the construction of the interpolation function, the numerical calculation and the error formula are far from mature than the univariate case. The research is mostly obtained by analytics. In this issue, we will investigate the following problems about ideal interpolation: the algorithm for discreting an Hermite projector into a sequence of Lagrange projectors;the sufficient condition for the pointwise convergence of Lagrange projectors; the algebraic features for the ideal projectors with "good" error formulas.

在科研和工程实践中， 很多问题都是非线性的,这些问题的重要处理方法之一就是逼近。因此，函数逼近理论一直受到科研人员的重视。 多项式插值是函数逼近论中最常见的方法， 而对于多元多项式插值， 因插值节点几何分布的差异，问题远比一元情形复杂的多。 为了利用代数几何工具来刻画插值节点的几何分布， 研究常见的Lagrange插值，Hermite插值以及其相互关系，人们提出了理想插值的概念。在本课题中，我们将利用构造性代数几何工具,研究理想插值以下几个方面的问题： 将Hermite投影算子离散为Lagrange投影算子列的构造性算法； Lagrange投影算子列逐点收敛为Hermite投影算子的充分条件； 具有“好”误差公式的理想投影算子的代数特征。

针对理想插值中的离散化问题, 与合作者给出一个算法。该算法将Hermite投影算子离散化问题转化为非线性系统的求解问题. 对于每一个微分闭子空间, 该算法计算了一列离散点使得这些点的赋值泛函的极限构成的空间收敛到原来的闭子空间并且离散点的个数与原来的空间的维数相同. 由于离散化问题转化为非线性系统的零点的计算问题. 与合作者讨论了非线性系统奇异解的可信验证算法.该问题一方面能解决离散问题中Lagrange投影算子中节点的确定, 另一方面该问题又借鉴了离散化的思想,.将非线性系统奇异解的正则化问题转化为将单点的Herimte投影算子对应的核空间的理想基离散为高维空间中的Lagrange投影算子所对应的理想基. 对于插值条件仅与偏导数有关的Hermite投影算子, 将偏导数用差商替代可以得到一列Lagrange投影算子. 将偏导数用差商替代得到的Lagrange投影算子列在选取字典序下的单项商环基做插值基, 可以保证其逐点收敛到Hermite投影算子。 以三维Cartesian点集为例, 利用B样条与差商的关系, 给出Cartesian点集上的 Lagrange投影算子的误差公式的积分形式. 该结果可以推广到d维空间中. 将该推广好的误差公式进一步整理， 给出 Cartesian点集上的Lagrange投影算子其好误差公式. 隐行列式法是基于插值的思想，利用隐行列式法，给出结构矩阵奇异性和秩亏为k的可信性验证.