小区间上的素变数指数和估计及其若干应用

Estimates of exponential sums over primes plays an important role in research of additive problems with primes in analytic number theory. The breakthrough of Zhang Yitang and Sarnak’s conjecture bring in some new ideas and methods. The applicant has some research on Waring-Goldbach problems and the distribution of primes in the ternary quadratic form in short intervals. In this project, we will consider exponential sums over primes in short intervals combined with the following problems: 1. Waring-Goldbach problems with almost equal primes; 2. Some problems related to Bombieri-type theorem. We will apply the following techniques. For one thing, we investigate a mean-value estimates of Dirichlet polynomials in combination with sieve method. For the other thing, we will refine estimates of the nolinear sums appearing in the investigation of exponential sums over primes.

素变数指数和估计在素变量堆垒问题的研究中起着重要作用. 张益唐在孪生素数猜想上的突破和 Sarnak 猜想的提出为素数相关问题的研究带来了新的生机. 在几乎相等的华林-哥德巴赫问题和小区间上的三元二次型表素数等问题的研究中, 申请人曾取得了一定的成果. 在此基础上, 本项目将主要考虑小区间上的素变数指数和估计, 并结合以下两方面问题进行研究: 1. 几乎相等的华林-哥德巴赫问题; 2. 与 Bombieri 型定理相关的问题. 我们拟采用的研究方法是: 改进多重非线性指数和估计, 进而优化小区间上的素变数指数和上界; 通过引入筛函数改进 Dirichlet 多项式的均值估计.

在项目执行期间，项目组以小区间上的素变数指数和及几乎相等的华林-哥德巴赫问题为研究对象，结合多重非线性指数和估计, 优化了小区间上的三次素变数指数和上界，并结合圆法将其应用于几乎相等的华林-哥德巴赫问题的研究中；通过Dirichlet多项式的均值估计，建立了小区间上线性和非线性的素变数指数和的Bombieri-型定理，并在几乎相等的三元二次型的素数分布问题的研究中对其将以应用..这些研究结果完成了项目申请中所涉及的主题内容，丰富了素数分布，特别是素变数指数和的相关内容. 项目执行期间，项目组已在国际学术期刊发表论文1篇，投稿2篇.