非局部相场模型的间断有限元模拟

This project aims to study the discontinuous Galerkin methods of nonlocal phase field problems. Since nonlocal phase field models possess some good mathematical properties, we then need to be careful in designing the numerical schemes so as to preserve these properties. In particular, the nonlocal phase field problems will become their local counterparts when the horizon vanishes, therefore we hope our numerical solutions will converge to the exact solutions of the corresponding local problems in the zero horizon limit, which is called the asymptotic compatibility. Moreover, the nonlocal phase field problems may allow their solutions to have spatial discontinuities, thus discontinuous Galerkin discretizations in space become natural choices when numerical approximations are considered. In this project, we consider two approaches to discretize the nonlocal diffusion operators, one is to introduce an auxiliary variable enlightened by the local discontinuous Galerkin methods, and the other is the discontinuous Galerkin methods with interior penalties. The methods we consider here will not only give a general framework of discontinuous Galerkin methods for nonlocal phase field problems, but also provide numerical supports for the physical applications. Also, to study the discontinuous Gakekin methods for nonlocal phase field problems, will also contribute to the development of the discontinuous Galerkin methods.

本项目主要考虑非局部相场模型的间断有限元方法，主要包括设计非局部相场模型的间断有限元格式，并进行相应的数值理论推导和数值实验模拟。本项目在构造数值格式时，希望能够保持非局部相场模型的一些数学性质，例如能量稳定性等。特别地，由于非局部相场模型在某些情形下将收敛到经典相场模型，在构造数值格式的时候我们希望数值解在这些情形下也能够收敛到经典相场模型的真解，即有渐近相容性。除此之外，由于非局部扩散算子弱于微分算子，因而降低了解的正则性要求，甚至真解可能是间断的，这是非局部相场模型相比于经典相场模型更适合模拟某些尖锐界面问题的原因，也是本项目考虑使用间断有限元方法来模拟非局部相场模型的主要原因之一。本项目的研究方法和结果不仅能够提供关于非局部相场模型的间断有限元数值理论，而且还能为实际物理应用提供数值方法的支持。此外，研究非局部相场模型的间断有限元方法，也进一步扩大和丰富了间断有限元方法的适用范围。

本项目主要研究了不同问题的间断有限元格式的数值性质，包括守恒性、稳定性、收敛性和渐近相容等性质。研究问题包括Euler方程、二阶波动方程、热方程、多孔介质问题、非局部扩散模型、对流扩散方程和退化的抛物方程等。项目申请人从双曲守恒律的间断有限元格式出发研究数值振荡的控制，构造了带阻尼项的间断有限元格式，在控制格式产生的非物理伪振荡的同时仍然保持格式原有的数值性质，例如守恒性、稳定性和收敛等性质；针对二阶波动方程构造了中心间断有限元格式并分析了相关数值性质。对于扩散问题，本项目针对非局部扩散方程构造了内罚间断有限元格式并分析了相关数值性质，其中包括稳定性、收敛性和渐近相容性；针对非线性扩散方程构造了带阻尼项的间断有限元格式并利用数值实验说明阻尼项控制数值振荡的有效性。同时，本项目构造了对流扩散方程的间断有限元格式，通过数值实验表明数值格式对退化的抛物问题同样有效。本项目对间断有限元方法的研究，有助于为实际物理应用提供数值方法的支持，也进一步扩大和丰富了间断有限元方法的适用范围。