求解地震波方程的间断有限元方法及波场模拟研究

For solving seismic equations, we propose a new high-order discontinuous Galerkin method which employs a diagonal implicit Runge-Kutta operator for time discretization in discontinuous Galerkin method, and a high-order iteration procedure is introduced to convert the implicit scheme to an explicit one. This new method can effectively suppress numerical dispersion and improve the time discretization accuracy and maximum Courant number. Then, this new discontinuous Galerkin method is investigated in detail, including its numerical stability condition and numerical dispersion. Afterwards, this new method is applied to simulate several complicated geologic media such as anisotropic medium and viscoelastic medium. We also apply irregular meshes to investigate the wave propagation in complicated geologic models such as large velocity contrast models and fractures. For this project, we also combine the new discontinuous Galerkin method with high-order finite difference method. A hybrid scheme which can suppress numerical dispersion efficiently and can significantly improve the computational efficiency is developed. This hybrid method is applied for simulating the wave propagation in complicated structure media and is applied for seismic analyses. The accomplishment of this project will achieve a new discontinuous Galerkin method and a new hybrid method, which will give a solution for the problem of large numerical dispersion and low computational efficiency in numerical simulations for complicated models, and will also improve the wave-field character. The accomplishment of this project will promote the development of seismic theory and method, and will lay a good foundation for its application in oil-gas exploration.

针对求解地震波动方程，将隐式Runge-Kutta时间离散算子引入到间断有限元方法中，并利用高阶迭代思想进行显式化求解，研究具有弱数值频散特性、能显著提高时间离散精度和最大库朗数的高阶新型间断有限元方法；研究相应的理论问题（如稳定性条件、数值频散等）；研究复杂介质（各向异性、粘弹性等）情形下的高阶间断有限元方法；研究复杂地质结构（强间断地质模型、裂缝等）情况下的非一致网格高阶间断有限元方法；将此间断有限元方法与高效有限差分方法相结合，研究压制数值频散能力强、计算效率高、能模拟复杂几何结构介质中波传播的混合方法，并进行波场数值模拟及分析。该项目的完成，将获得基于隐式算子显式化的高阶新型间断有限元方法以及混合方法，能解决复杂介质与几何结构下地震波数值模拟中数值频散严重、计算效率低的问题，能显著提高波场模拟质量，有利于推动地震学理论与新方法的发展，为未来在油气勘探中进行实际应用打下了良好的基础。

在实际地震勘探中，由于地下介质的复杂性和不均匀性，能够获得解析解的模型很少，因此研究求解地震波动方程的数值解法在正演模拟中有着极其重要的地位。随着计算机的快速发展，许多正演模拟方法得到了快速的发展及应用，间断有限元（DG）方法就是其中一种备受关注的数值算法。本项目围绕DG方法在求解地震波动方程中的应用，从新型高阶DG方法、DG方法的数值特性、粘弹性及双相介质的应用、与有限差分相结合的混合算法这四个方面开展了系统的研究。具体说来：. 一：新型高阶DG方法。本研究在时间离散上引入对角隐式Runge-Kutta方法，并利用迭代方法将其变为显式格式，空间上采用1-5阶基函数，从而获得了基于隐式算子显式化技巧的高阶加权Runge-Kutta DG（WRKDG）方法，该算法通过对时间离散过程中引入的加权因子进行优化，获得了最佳稳定性条件下的加权因子。在此基础上，应用新方法进行了大量的波场模拟，并利用非一致网格对具有强速度间断模型、声波-弹性波曲边交界面等问题进行了波场模拟，充分说明了该方法具有很强的适应性。. 二：DG方法的数值特性。本研究围绕与DG方法空间离散有关的数值通量、基函数、三角形及四边形网格等因素，对DG方法进行了细致全面的半离散化分析，并结合ADER及加权Runge-Kutta时间离散方法，对DG方法进行全离散分析。此研究获得了对于DG空间离散特性的全面认识，并且对不同时间离散格式的数值特性也有一个初步的了解。. 三：粘弹性及双相介质的应用。发展了数值求解Biot双相介质弹性波方程和D’Alembert介质波动方程的DG方法，系统分析了其数值稳定性条件及简单情形下的数值频散和数值耗散，进行了系列波场模拟。 . 四：与有限差分相结合的混合算法。本文获得了基于ONAD方法和DG方法的混合算法，该算法在原有的混合算法基础上，针对两种方法的交接处产生较大反射这个问题，通过采用高阶时间格式——Adams多步法替换原有的简单的梯形积分公式，使得波在混合方法交接处传播时反射变弱，获得更好的波传播模拟效果。