调和分析中的叠加效应和小波方法

The applicant and others have classified systematically most of function spaces into six groups of function spaces, such as Besov spaces, This project uses wavelets to analyze the stack effects of distributions and the stack effects of the products of several distributions. Mainly,.we study three problems. The applicant and others have analyzed many function distributions and operator distributions. Especially, they have classified broader function spaces into six groups of function spaces: oscillating Besov spaces, atomic Besov spaces and Lorentz type Besov spaces; oscillating Triebel-Lizorkin spaces, atomic Triebel-Lizorkin spaces and Lorentz type Triebel-Lizorkin spaces.These spaces include Besov spaces, Triebel-Lizorkin spaces, Q spaces and many new spaces. The first object of this project is to apply wavelets to study the boundary values and relative inner properties for harmonic functions, analytic functions and even Dunkl harmonic functions. Traditional skills can deal with a party of measurable functions, and can not be applied to consider distributions. To break through such limitation, we use wavelets to consider the stack effects. Since 1950s, Mazya and many others considered multiplier spaces from Sobolev spaces to Sobolev spaces systematically. One of the main skills is to consider the capacity on compact sets. But the capacity on arbitrary compact set is difficult to calculate out. We use wavelet expansion to consider multiplier spaces on the above six group of spaces and consider the relative non-linear problems. Traditional methods can not describe well the relations among the time, space and frequency of the solution of fluid equations. We find out that wavelets can do so. Further, wavelet skills can transform the study of energy inequalities to the Holder inequality about wavelet coefficients. We use such idea and the six group of function spaces to study the well-posedness of fluid equations and other non-linear equations.

本项目用小波分析分布及分布相乘时的叠加效应并用于三个问题的研究。申请人等用小波刻画了大量函数分布和算子分布。绝大多数函数空间分类成更广的六类空间，即振荡型、原子型和Lorentz型的Besov空间和Triebel-Lizorkin空间。本项目目标之一是通过小波系统地研究调和函数，解析函数，以及Dunkl调和函数的边值及相关性质。传统方法能考虑部分可测函数，不能用于分布，好函数下的叠加技巧可突破这一限制。上世纪五十年代起，Mazya等利用紧集上容量的概念系统地研究Sobolev空间上的乘子。但一般紧集上容量很难计算。第二个目标是利用小波展开研究上述六类函数空间的乘子空间及相关非线性问题。传统的研究流体方程的办法不能很好描述解时间空间和频率三者的关系。小波不但能，还把能量不等式转成关于小波系数的Holder不等式。本项目第三个目标是针对上述六类函数空间研究流体方程以及其它非线性方程的解的适定性

调和分析的主要问题之一是函数空间和算子连续性的研究，这种研究正走向越来越精细化的方向并用于微分方程的研究。调和分析中的叠加效应和小波方法正是适应这一变化而提出来的。我们的方法能够比较精确地反映不同位置和频率对叠加效应进行分析。根据Schwartz理论，一个算子也对应着分布，我们把函数和算子都采用适当的方法进行分解。绝大多数函数空间分类成更广的六类空间，即振荡型、原子型和Lorentz型的Besov空间和Triebel-Lizorkin空间。本项目内容之一是通过小波系统地研究调和函数，解析函数，以及Dunkl调和函数的边值及相关性质。传统方法能考虑部分可测函数，不能用于分布，好函数下的叠加技巧可突破这一限制。上世纪五十年代起，Mazya等利用紧集上容量的概念系统地研究Sobolev空间上的乘子。但一般紧集上容量很难计算。第二部分内容是利用小波展开研究上述六类函数空间的乘子空间及相关非线性问题。传统的研究流体方程的办法不能很好描述解时间空间和频率三者的关系。小波不但能，还把能量不等式转成关于小波系数的Holder不等式。本项目第三部分内容是针对上述六类函数空间研究流体方程以及其它非线性方程的解的适定性。本项目发表或录用论文约20篇。培养博士和硕士15名。在武汉大学组织了两次调和分析的会议，为本领域专家的交流提供了合适的平台。项目组在国内外学术会议和在其它单位受邀报告，总共50余次。本项目促进了调和分析领域专家的交流，为调和分析及非线性问题的研究提供了一些新的数学方法。给出了函数空间和算子连续性研究的新的结果，发表和录用了较多的SCI文章。并提供了新的研究方法，建立了比较系统的理论。在乘子方面，在函数相乘的乘子和Fourier乘子的研究上取得了一定的进展。我们还研究了线性的Schrodinger方程。我们研究了在不同的初值空间的多个流体方程的适定性，对非线性方程的结构有了较为透彻的理解。我们改进和发展了与上述问题有关的已有结果，得到了相当数目的SCI杂志的承认。我们对频率，位置以及各种性质对收敛性控制的相互影响的细致理解为下一步的研究打下了很好的基础。下一步我们将研究带参数的算子的联动结构在非线性问题中的应用。