两类变系数生物模型自由边界问题的研究

This project is to study some free boundary problems for the sign-changing coefficient prey-predator models and sign-changing coefficient competition models in ecology. The main works include the existence and uniqueness of solutions, spreading-vanishing dichotomy, asymptotic behavior, sharp criteria for spreading and vanishing and spreading speed. We will use the contraction mapping principle and the straightening transform to research the local existence and uniqueness of solutions, and use the priori estimate and regularity theory to research extension theorem, and then study the global solutions. We will also utilize the methods, such as the priori estimate, regularity, asymptotic analysis, iterative technique, comparison principle, constructions of upper-lower solutions and auxiliary functions, to study the asymptotic properties of solutions. At the same time, to obtain the spreading criterion, the theory of characteristic value and constructing the appropriate auxiliary function, comparison principle and the continuity method are used. Furthermore, in view of the positive solutions of the corresponding elliptic equation (equations) in bounded domain of the boundary value problems, or the solutions of wave front for corresponding reaction diffusion equations, and using qualitative analysis and asymptotic method, the asymptotic spreading speed is obtained. . The solution of these related problems not only has scientific significances for the development of theories and methods of the nonlinear evolution equations, but also has an important reference value for the applications on the free boundary.

本项目拟研究来源于生态学中的变系数捕食模型和变系数竞争模型的自由边界问题，着重探讨解的存在唯一性、蔓延和熄灭的二择一性质、解的渐近性质、蔓延准则和渐近蔓延速度。利用拉直变换和压缩映像原理，研究解的局部存在性和唯一性。利用先验估计和正则性理论，研究延拓定理，进而研究整体解。借助特征值理论，利用先验估计、渐近分析、迭代、比较原理、上下解和辅助函数的构造等方法，研究解的渐近性质。利用特征值理论、通过构造合适的辅助函数、比较原理和连续性方法，得到蔓延准则。借助于研究对应的有界区域上椭圆型方程（组）边值问题的正解，或者对应的反应扩散方程组的波前解，利用精细的定性分析和渐近性方法，确定渐近蔓延速度。. 相关问题的解决不仅对非线性发展方程现代理论方法的发展有重要的科学意义，而且对自由边界等方面的应用具有重要的参考价值。

本项目系统研究了相关生物模型的自由边界问题，重要研究了这些问题解的存在性、唯一性、整体快解、整体慢解、蔓延和熄灭、解在有限时刻爆破、解的长时间性态等结论。借助拉直变换、构造辅助函数和压缩映像定理研究了模型解的（局部）存在唯一性；借助比较引理研究了带耦合反应项的反应扩散方程组自由边界问题解的整体存在性和爆破发生的条件，并通过构造能量条件对爆破发生时的爆破解给出了更加精细的条件；借助重新刻画自变量，研究方程组的解在爆破时正解之间的关系，得到解同时爆破且模型的解在某些区域上关于空间变量是单调递减的结论，同时，通过构造辅助函数和利用最大值原理，得到了爆破集为初始区域的紧子集的结论；借助精细的分析和比较原理等方法，研究了初值对整体快解、整体慢解、爆破解的三分性结论；借助比较原理、上下解和辅助函数的构造等方法，以及对应的有界区域上椭圆型方程（组）边值问题的正解，研究了解在蔓延发生时解的蔓延速度。.项目组共发表论文7篇研究论文，其中4篇论文被Nonlinear Analysis、Journal of Mathematical Analysis and Applications、Applicable Analysis、Journal of Mathematical Physics等SCI期刊收录， 还有2篇论文投稿至SCI期刊。项目负责人在本课题研究期间，获得江苏省政府留学基金资助，获得江苏省青蓝工程优秀青年骨干教师称号。