同宿类与链回复类的鲁棒动力性态研究

In this project we will study three important robust properties of homoclinic classes and chain classes. A homoclinic class or a chain class is a maximal indecomposible compact invariant set, hence is traditionally regarded a "basic piece" in some sense. An important achievement in Dynamical Systems of the last century is that, for the whole space, the structural stability, the robust shadowing property, and the robust expansivity each implies the hyperbolicity of the whole space. A natural question is that, for a single basic piece, whether the structural stability, the robust shadowing property, and the robust expansivity each implies the hyperbolicity of this piece. In this project we are to prove that the answer is positive. Here the main difficulty involved is that, comparing with the case of the whole space, a non-isolated basic piece is accumulated by other basic pieces, an interference that causes the failure of the classical approach. Another goal of our project is to study, for a basic piece, what will happen if a robust property is replaced by the genericity.

本项目准备研究同宿类与链回复类的三种重要的鲁棒性质。所谓同宿类和链回复类是指动力系统的一种最大的、不可分解的紧不变集，传统上被认为是某种意义上的"基本块"。上世纪动力系统的一个重要发现是，对全空间而言，结构稳定性、鲁棒跟踪性、鲁棒可扩性这三种性质都蕴含全空间的双曲性。一个自然的问题是，对一个基本块而言，结构稳定性、鲁棒跟踪性、鲁棒可扩性是否都蕴含该基本块的双曲性。本项目试图证明这个问题的答案是正面的。与全空间的情形不同，这里的主要困难在于，一个非孤立基本块被其他的基本块无限逼近，造成干扰，导致原有的方法在这里失效。本项目的另一个目标是试图研究，对一个基本块而言，如果鲁棒性代之以通有性，上述结论是否成立。

在近年微分动力系统的研究中，同宿类与链回复类上的内蕴式的持续动力学性质（或又可称为鲁棒动力学性质）是一个非常重要的研究对象。其中有一些已有相应的结果，例如E. Pujals, M. Sambarino等人一系列的关于持续可扩同宿类的研究，以及申请者本人与北京大学文兰院士、甘少波教授等人关于持续可跟踪链回复类的研究，证明了在这类持续性质下（或附加一点其他的条件），对应的同宿类或链回复类是双曲基本集。这类问题中还有一个最重要的问题是内蕴式的结构稳定性是否蕴含双曲性。本项目的一个核心研究内容就是这一问题：一个同宿类上（或链分支上的）内蕴式结构稳定性是否蕴含双曲性。通过本项目的研究，我们对这一问题取得了非常重要的结果。我们首先对结构稳定的链回复类进行研究，首先证明了结构稳定的链回复类上具有控制分解（一种准双曲性），进而在余维一的情况下证明了结构稳定的链回复类是双曲的。而对于结构稳定的同宿类，我们也证明了同样的结果，同时还证明了在系统远离同宿切这一分支现象是，结构稳定的同宿类是双曲的。这些相关的结论可以看作是上个世纪微分动力系统研究中结构稳定性研究的一个延伸与扩展，具有非常重要的理论意义，相关的论文分别发表在领域内知名期刊“Transactions of the American Mathematical Society” 和"Discrete and Continuous Dynamical Systems"上。我们相关的研究也给这类问题的彻底解决提供了一个整体的框架。在项目的研究中，我们还对通有系统的一些动力学性质与双曲性的关系进行了探讨，我们证明了对通有的保守系统而言，可扩性与流形上整体的双曲性等价，当流形的维数大于2时，伪轨跟踪性与流形上的整体的双曲性等价，相关结论发表在国内期刊“Acta Mathematica Scientia(English Series)”上，这也是近年微分动力系统的一个热点研究内容。