统计收敛的测度理论与超滤子收敛

Based on functional analysis, geometric functional analysis, Banach space theory and measure theory, the aim of the project is to study, totally or partial solve the following questions: .(1) prove the geometric characterizations of statistical convergence to be almost convergece by applying geometric functional analysis and Banach space theory ;.(2) discuss whether the classical statistical convergence is equivalent to a single measure convergence;.(3) discuss whether the convergence defined by an ultrafilter F is equivalent to F-almost usual convergence, furthermore, discuss that Whether the convergence defined by a single statistical measure is equivalent to almost usual convergence.. To approach the above three problems, we will focus on studying extreme statistical measure using geometric functional analysis and Banach space theory, thus, give out a resolution with organic combinations. This brand new approach is not only a breakthrough in theory, but also in practical application.

本项目属泛函分析、几何泛函分析、Banach空间理论和测度论的范畴，旨在研究、解决.或部分解决下列几个问题：.(1) 利用几何泛函分析与Banach空间理论给出统计收敛为几乎处处收敛的几何特征；.(2) 讨论经典统计收敛是否等价于单一测度收敛；.(3) 讨论由超滤子F定义的收敛是否等价于F-几乎处处收敛，进而讨论由单个统计测度定义的收敛是否等价于几乎处处收敛。. 本项目将以极端统计测度研究为主线，以几何泛函分析与Banach空间理论的思想、方法和技巧为工具，以致力推进上述三个问题的研究进程为目的，将上述三个问题有机地结合在一起并得到有效的解决。这不仅在理论上和应用上对于上述分支有一定的突破，而且在方法上是一种全新的研究思路。

统计收敛的定义于1951年由Fast和Steinhaus分别独立地引入，它是经典序列收敛的一种推广形式. 毫无疑问, 从上个世纪90年代末以来，统计收敛及其各种各样的推广形式已经成为热点研究领域. 本项目主要研究内容是弱滤子收敛、理想收敛、A-收敛与lacunary 统计收敛.. Banach空间中序列弱收敛与弱滤子（统计）收敛的差异是巨大的. 特别地，一个弱收敛的序列一定是有界的，但一个弱统计收敛的序列可以按范数发散到无穷大. 尽管如此，我们证明了Banach空间中任意一个序列弱收敛于0的序列都可以用自身的凸组合按范数收敛于0的结论在弱滤子收敛的意义下仍然是成立的. 在滤子收敛收敛的框架下还证明了一个Radon-Riesz型定理.. 我们利用统计测度理论刻画Banach空间中的序列为I-几乎处处收敛的特征. 在Banach空间中引入I-极限点与I-聚点的概念. 利用(极端)统计测度证明I-极限点与I-聚点的一些等价刻画. 讨论I-极限点、I-聚点与通常意义下的极限点之间的差异与联系, 并给出了一些相应的例子.. 我们用两种不同的收敛方式来刻画A-收敛, 即证明了对任意A, 存在一个自然数集N上的理想I以及一族极端有限可加概率测度P, 使得A-收敛, I-收敛和测度P-收敛互为等价. 还证明了A-收敛为测度P意义下几乎处处收敛的充分必要条件是该A-收敛为非退化的.. 我们利用统计测度理论证明了lacunary统计收敛与经典统计收敛等价的充分必要条件是相应的lacunary序列是几何递增的.