统计测度理论及其应用

Based on functional analysis, geometric functional analysis, Banach space theory and measure theory, the aim of the project is to solve totally or partially the following questions:.(1) whether a selected theorem of geometric functional analysis or of Banach space theory is valid under the framework of statistical convergence ( generally, ideal convergence)? If not, present a class of filters for which this theorem is valid..(2) whether the classical statistical convergence, further the convergence defined by a free ideal is equivalent to a single measure convergence?.(3) whether the convergence defined by an extreme statistical measure is equivalent to the almost usual convergence? Furthermore, whether the convergence defined by a single statistical measure is equivalent to the almost usual convergence?.(4) for a nonnegative regular summability matrix A, can we characterize the multipliers of A by a class of statistical measures? If it is done, the general case for any regular summability operator will be considered.. To approach the above four problems, we will study statistical measure using geometric functional analysis and Banach space theory, thus, give out a resolution with organic combinations. This brand new approach is not only a breakthrough in theory, but also in practical application.

本项目属泛函分析、几何泛函分析、Banach空间理论和测度论的范畴，旨在解决或部分解决下列几个问题：.(1) 几何泛函分析与Banach空间理论中一些经典定理在统计（理想）收敛框架下是否仍然成立？ 如果不能成立，给出使其成立的理想的特征。.(2) 经典统计收敛是否等价于单一测度收敛？ 进而由自由理想所定义的收敛是否等价于单一的测度收敛？.(3) 由单个极端统计测度所定义的收敛是否等价于几乎处处收敛？ 进而由单个统计测度所定义的收敛是否等价于几乎处处收敛？.(4) 对于一个非负正则可和矩阵A，能否找到相应一族统计测度来刻画A的乘子？如果结论是肯定的，将该结果推广至一般正则可和算子的情形。. 本项目利用泛函分析的思想、方法和技巧， 以统计测度研究为主线，将上述四个问题有机地结合并解决。这不仅在理论和应用上对于上述分支有一定的突破，而且在方法上提供了一种全新的研究思路。

统计收敛的定义于1951年由Fast和Steinhaus分别独立地引入，它是经典序列收敛的一种推广形式. 毫无疑问, 从上个世纪90年代末以来，统计收敛及其各种各样的推广形式已经成为热点研究领域. 本项目主要研究内容是弱滤子收敛、理想收敛、A-收敛与lacunary 统计收敛.. Banach空间中序列弱收敛与弱滤子（统计）收敛的差异是巨大的. 特别地，一个弱收敛的序列一定是有界的，但一个弱统计收敛的序列可以按范数发散到无穷大. 尽管如此，我们证明了Banach空间中任意一个序列弱收敛于0的序列都可以用自身的凸组合按范数收敛于0的结论在弱滤子收敛的意义下仍然是成立的. 在滤子收敛的框架下还证明了一个Radon-Riesz型定理.. 利用统计测度理论刻画Banach空间中的序列为I-几乎处处收敛的一系列几何特征. 在Banach空间中引入I-极限点与I-聚点的概念. 利用(极端)统计测度证明I-极限点与I-聚点的一些等价刻画. 讨论I-极限点、I-聚点与通常意义下的极限点之间的差异与联系, 并给出了一些相应的例子.. 用两种不同的收敛方式来刻画A-收敛, 即证明了对任意A, 存在一个自然数集N上的理想I以及一族极端有限可加概率测度P, 使得A-收敛, I-收敛和测度P-收敛互为等价. 还证明了A-收敛为测度P意义下几乎处处收敛的充分必要条件是该A-收敛为非退化的.. 利用统计测度理论证明了lacunary统计收敛与经典统计收敛等价的充分必要条件是相应的lacunary序列是几何递增的.. 给出正则可和矩阵的弱星聚点方法以及两个连续半范数方法来刻画非负正则可和矩阵的乘子. 证明了乘子的7个等价刻画.. 利用Lipschitz映射的Gateaux可微性理论, 我们首先证明了Banach中有界闭凸集上仿射等距具有超不动点性质的特征. 在此基础上证明了Banach空间X中任意有界闭凸集上的等距映射具有超不动点性质如果X能够Lipschitz或仿射一致嵌入到一个超自反空间. 利用Baudier-Lancien-Schlumprecht定理, 我们证明了Banach空间X中任意非空有界闭凸集上连续的仿射映射具有不动点性质如果X能够一致嵌入到Tsirelson.