多介质非线性能量方程的数值方法

The system of nonlinear multi-material energy equations is a system of partial differential equations, which describes energy transport process in applications. For solving numerically the complex system of nonlinear partial differential equations with discontinuous coefficients, this project will construct accurate and efficient computational methods for solving radiation conduction problems with general equation of state on Lagrangian meshes. New methods will be proposed, including (i) cell-centered conservative schemes on distorted meshes for heat conduction term, which can restrain numerical oscillations and get higher accuracy than first order; (ii) discrete methods of practical nonlinear energy functions for the time increment rate of energy, which can assure to get better conservation of energy; (iii) efficient methods of nonlinear iteration, which not only decrease conservative error, but also increase robustness of iteration method and decrease practical run time. Our new methods will settle two key and difficult issues on numerical methods for nonlinear multi-material energy equations on complicated meshes: (i) low accuracy and unphysical oscillation which are produced by existing discrete schemes; (ii) low efficiency even failure and large conservative error which are generated by exiting nonlinear iteration methods. Fast and accurate solvers will be developed and applied for numerically simulating practical radiation hydrodynamic problems, and the accuracy and robustness of the numerical methods will be demonstrated.

多介质非线性能量方程组是应用领域中描述能量传输过程的偏微分方程组。本项目将针对这一复杂的具有间断系数的非线性偏微分方程组，研究适用于求解一般物态方程的拉氏多介质辐射热传导问题的计算方法。将设计新的计算方法，包括：(i) 对于热传导项，设计适用于大变形网格的单元中心型守恒离散格式，使其能够抑制非物理数值振荡且具有高于一阶的精度； (ii) 对于能量的时间变化率，设计适用于实际的非线性能量函数的离散方法，使其能够提高能量方程求解的守恒性；(iii) 设计高效的非线性迭代方法，使其不仅减少守恒误差，而且能够提高迭代求解的健壮性、缩短实际求解时间。解决复杂网格上多介质非线性能量方程组现有的计算方法存在的两个关键的困难问题：一是出现非物理振荡和精度低的问题；二是求解效率低甚至失效和守恒性差的问题。并研制高效的解法器，应用于实际问题求解，验证计算方法的精度和健壮性。

能量传输出现在许多应用领域中。在涉及极端条件下扩散与输运计算时，多介质非线性能量方程的数值求解极为困难。已有的方法难以满足应用需求，主要的不足有：大变形网格上精度低，健壮性较差，求解效率较低，有时甚至出现计算中断。迫切需要发展具有如下特性的计算方法：(1) 确保得到符合物理意义的数值解；(2) 无需人为干预，方法健壮稳定；(3) 至少高于一阶精度，守恒误差小；(4) 求解效率能满足实际需求。本项目针对拉氏网格上多介质非线性能量方程，分析已有方法的优缺点，设计适用于变形网格上守恒离散格式，包括扩散方程保正和保极值原理格式，输运方程自适应算法和保正保矩格式，以及新的并行离散格式等，并针对能量的时间变化率设计适用于实际的非线性能量函数的计算方法，应用于实际问题的计算。.本项目解决了实际能量方程计算方法在精度、守恒性和迭代求解方面存在的突出问题：(i) 针对具有间断的物态方程，设计出非线性能量函数新的数值方法，解决了物态方程的跳段引起的迭代求解不收敛和不守恒的难题，弥补了已有求解方法存在的缺陷；(ii) 已有的保正和保极值格式需加约束条件，不能无条件适用于实际问题计算；本项目得到了实用的新格式，去掉了苛刻的约束条件，解决了长期以来存在的“阶障”难题；(iii) 针对任意四边形网格上输运方程的简单角平衡(SCB)格式，设计了子网格剖分方式，形成了新的自适应输运算法，解决了网格扭曲时精度下降、以及在凹网格上出现计算中断的问题；设计了基于SCB的非负性修正格式，以及中子输运保正保矩格式，解决了现有输运计算出负的问题。(iv) 提出了新的守恒或保正的并行格式，避免了并行可扩展性差的瓶颈问题。.所设计的非线性能量函数的离散方法，可确保守恒性且迭代收敛；所设计的方法健壮，适用于变形网格，具有高于一阶的精度，能抑制非物理振荡，且能缩短实际求解时间，为实际计算快速提供可信的结果；并且开展了相关的理论分析，为进一步发展严格的计算方法理论打下了基础。