扭曲网格上辐射扩散方程的加速算法研究

The radiation transmission process is a strongly nonlinear and strongly coupled process. To ensure the stability of the calculation, the numerical discretization of the energy equation must adopt the fully implicit scheme, and there must be a large number of mesh units to ensure the required accuracy. The large system of nonlinear algebraic equations formed by nonlinear fully implicit schemes is ill-conditioned and the workload of solving this system is enormous. However, the existing numerical methods usually have low computational efficiency, and the discreted formula formally used in the practical applications often appear numerical cross-limit problems. The existing correction algorithms often increase the number of iterations, slow convergence or even no convergence, So, these methods can not well meet the practical application demand for rapid solution.. In this project, we propose to consider the following problems: 1) For the low computational efficiency of the cell-centred finite volume method(including nine-point schemes and nonlinear positive preserving schemes), studying the nonlinear iterative acceleration method and the modified Anderson acceleration algorithm for these schemes(including fully positive preserving formula); 2) studying the geometric two-grid acceleration algorithm of finite volume scheme(including preserving maximum principle formula); 3) studying the correction algorithm and how to accelerate the new correcting algorithm without affecting the speed of convergence.

辐射传输过程是一个强非线性、强耦合的过程。为保证计算的稳定性，能量方程的数值离散必须采用全隐格式，且需要采用大量的离散网格单元以保证所需的精度。非线性全隐格式形成的大型非线性代数方程组是病态的，求解的工作量非常巨大。但是，现有的数值方法计算效率较低，且应用中常用的离散格式经常出现的数值越界问题，现有的保界修正算法又往往出现迭代次数明显增加、收敛变慢甚至不收敛的现象，这些方法不能很好地满足实际应用对快速求解的需求。.本项目将开展如下研究：1) 针对现有的单元中心型有限体积格式(包括九点格式和非线性保正格式等)计算效率较低的问题，研究适用于这些格式(包括完全保正格式)的非线性迭代加速方法和Anderson加速算法；2) 研究适用于一般结构网格的有限体积格式(包括保极值原理的离散格式)的几何两网格加速算法；3) 针对现有的保界修正算法收敛慢的问题，将设计新的不影响收敛速度的保界修复算法。

扩散过程是自然界普遍存在的，且广泛出现在众多科学研究和工程应用领域。通常在重介质区中辐射或中子传输过程可采用扩散型方程描述。.本项目设计了一般三角形和四边形网格上辐射扩散方程有限体积元方法的修正算法，证明了修正后格式的解无条件满足离散强极值原理。数值结果表明，修正格式不仅满足离散极值原理，而且保持了原格式的收敛阶不变。研究了扭曲网格上求解多项慢扩散方程的离散格式与算法，构造了一般非协调变形网格上完全保正的非线性有限体积格式，证明了该格式离散解的正性以及存在性。对于所形成的非线性代数系统，采用非线性Picard迭代求解，数值结果表明该非线性迭代是收敛的，在每一非线性迭代步对具有非对称矩阵的线性系统采用BiCGStab方法进行求解。.其次，本项目针对具有弱奇异核的二维非线性分数阶扩散波方程的数值求解，时间离散使用了二阶后向差分公式（BDF）和L1格式。为改进非线性方程组的求解效率，研究设计了时间两网格加速算法，在粗网格上使用牛顿迭代求解非线性离散系统，然后，应用拉格朗日线性插值来获得在细网格上用于构造差分格式的函数值。对两网格全离散系统证明了无条件稳定性和收敛性。数值实验表明，对于非线性系统的求解，与原来采用的有限差分方法相比，所提出的两网格数值算法所用的CPU时间明显减少，即在不损失计算精度的前提下两网格算法给出了明显的加速。.并且，为了实现典型扩散模型快速求解，包括具有强非线性性的能量扩散方程与拟线性次扩散方程，深入调研了Newton型迭代方法的研究现状，并针对实际计算中可能出现的极端退化情形，研究了改进的Newton方法。另外，为了保证本项目关于次扩散方程的研究能反映实际问题主要特征，对其物理背景开展了进一步调研工作。.总之，本项目开展的研究不仅在方法研究上取得了进展，而且具有明确的应用前景。