高rho不变量在几何拓扑中的应用

This project is a crossing theory of functional analysis and geometry topology. Using Atiyah-Singer index and higher index theory, one can define invariants of manifolds in K theory of operator algebras, which helps attacking problems in geometry and topology, such as problems of topology rigidity and positive scalar curvature metric. Higher rho invariant is a geometry topology invariant defined in K theory of certain operator algebra. Many famous mathematician has devoted their research to this particular invariant and to application of it in geometry topology. We intend to generalize the definition of higher rho invariant for more extensive topological spaces, such as manifold with boundary, non compact manifolds, etc. Our generalization will help us to investigate problems related to these topological spaces. We will also try to compute some classical geometry topology numerical invariant by higher rho invariant.

本项目研究课题属于泛函分析与几何拓扑交叉理论。利用Atiyah-Singer指标理论以及高指标等理论，人们可以在算子代数K理论中定义流形的不变量，并以此研究几何拓扑的相关问题，诸如流形的同伦等价分类与完全正曲率度量存在性问题。高rho不变量既是定义在某种算子代数K理论中的几何拓扑不变量。先后已经有很多知名数学家研究这一不变量并利用它研究紧流形的几何拓扑问题。我们计划推广这一定义，对更广泛的几何拓扑对象，诸如带边流形，非紧流形，定义相应的高rho不变量，并以此不变量研究更广泛流形的分类与正曲率存在性等问题。我们还将进一步深入研究这一不变量本身的性质，并利用它与相应泛函分析方法，来给出一些经典的几何拓扑不变量，诸如高eta不变量，Whitehead torsion等的计算公式。

本项目研究课题属于泛函分析与几何拓扑交叉理论。利用Atiyah-Singer指标理论以及高指标等理论，人们可以在算子代数K理论中定义流形的不变量，并以此研究几何拓扑的相关问题，诸如流形的同伦等价分类与完全正曲率度量存在性问题。高rho不变量既是定义在某种算子代数K理论中的几何拓扑不变量。先后已经有很多知名数学家研究这一不变量并利用它研究紧流形的几何拓扑问题。我们推广了这一定义，对更广泛的几何拓扑对象，诸如带边流形，非紧流形，定义了相应的高rho不变量，并以此不变量研究了更广泛流形的分类与正曲率存在性等问题。我们还进一步深入研究了这一不变量本身的性质，并利用它与相应泛函分析方法，给出了一些经典的几何拓扑不变量.