混合动机的周期与几何拓扑不变量

In this project we shall study periods of mixed motives and invariants from geometry and topology. We shall focus on some periods of mixed motives which are related to the volume of a 3-dimensional hyperbolic manifold and the special values of some algebraic varieties. We shall investigate character variety of the fundamental group of a 3-dimensional hyperbolic manifold, volume and other invariants. We shall study some geometric structures on a 3-dimensional manifold and the related algebraic K-groups. We shall investigate some related open conjectures in algebraic geometry.

本项目研究混合动机的周期与几何拓扑不变量。具体包括研究一些与代数簇的L-函数及三维双曲流形不变量相关的混合动机的周期；研究三维双曲流形的基本群的特征簇，及体积等不变量的性质；研究代数K-群与三维流形的几何结构的相关性质；研究代数几何中相关的其他公开问题与猜想。

在本项目中，我们的主要研究内容和成果如下：.对n>2, 我们研究了三维流形的基本群到复数域上的一般射影线性群PGL(n, C) 的表示的模空间，及其上不变量的各种相关性质。主要包括: 研究刻画这些模空间的组合坐标在对偶作用下的变换公式及其应用；研究这些不变量与三维流形相关几何拓扑不变量的关系；研究它们与代数K-群，2-对数函数的特殊值的内在联系；研究它们作为混合动机的周期的性质。.对n=3, 我们给出了组合坐标在对偶作用下的具体变换公式，由此对双曲三维流形，证明了一个表示和它的对偶表示在Pre-Bloch群中的不变量相同，对三维的球面CR流形，其对应表示的不变量在Pre-Bloch群等于零；对n>2的情况，我们对一类闭三维流形，证明了一个表示和它的对偶表示在Bloch群中的不变量相同；对于连续变化的幂幺表示，我们计算了数值的例子，发现它们取值于Bloch群的不变量为常数。.