离散链上模糊系统算子的理论及应用性研究

Fuzzy system operators refer to the operators used in the design of fuzzy systems, mainly including the aggregation operators reflecting information fusion, and the implications and co-implications reflecting fuzzy reasoning. The performance of a fuzzy system is closely related to the employed operators. Aiming at the weakness of research work on discrete chains and its importance in the application, this study intends to research on the fuzzy system operators defined on discrete chains from theory to applications. Our aims are to construct a perfect operator system on discrete domains, and to provide new schemes for the design of fuzzy systems. The core of research includes discrete chains and new operators, and the main work includes the following aspects: (1) to analyze the properties and structures for the fuzzy system operators on a discrete chain, and give their characterizations; to study closed operations on the various families of operators; at the same time to solve many open problems left over from the current research. (2) to solve the functional equations equipped with aggregation operators and implicational operators on discrete chains. We will characterize the solutions to the equations. On the other hand, we will expand the types of equations. (3) to establish reasoning algorithms on a discrete chain and analyze their reduction, smoothness (or divisibility) and robustness, and based on these, to design the corresponding fuzzy systems and further to analyze the stability and approximation properties for these systems.

模糊系统算子是指在模糊系统设计中所使用的算子，主要包括体现信息融合的聚合算子和体现推理思想的蕴涵与余蕴涵算子，系统的性能与所使用的算子密切相关。针对目前离散链上研究工作的薄弱性及其在应用领域的重要性，本研究拟对离散链上的模糊系统算子从理论到应用作系统性的研究工作，以期构建离散域上合理完善的算子理论体系，同时为模糊系统的设计提供新方案。研究核心一方面针对离散链，一方面针对新算子，主要内容包括以下几个方面：(1) 对离散链上各类模糊系统算子进行性质与结构的分析及特征刻画，研究各类算子族上的封闭运算，同时解决目前研究中遗留的诸多公开问题。(2) 研究离散链上含聚合算子与蕴涵算子的函数方程，一方面全方位刻画方程的解,另一方面拓展方程的类型。(3) 建立离散链上的近似推理算法，并分析其还原、光滑(或可分)及鲁棒性，进一步设计相应的模糊系统并给出其稳定与逼近性能的分析。

模糊系统算子是指在模糊系统设计中所使用的算子，主要包括体现信息融合的聚合算子和体现推理思想的蕴涵与余蕴涵算子，系统的性能与所使用的算子密切相关。针对目前离散链上研究工作的薄弱性及其在应用领域的重要性，本研究对模糊系统算子从理论到应用作了系统性的研究工作，主要内容包括以下几个方面：(1)聚合算子的构造与刻画。我们引入了弱单位半一致模（简记wn-一致模）的概念，进一步引入了几类重要的wn-一致模，特别，引入了可表示wn-一致模类，阐明了不存在幂等的真wn-一致模，同时解决了一类Cauchy函数方程的求解问题；给出了单位区间及有限链上几类特殊聚合算子的结构刻画；给出了聚合算子的铺路法构造；明确了几类常见一致模算子之间的关系。(2) 聚合算子的迁移性研究。建立了系列聚合算子迁移性成立的条件，如一致模、零模、2-一致模、半t-算子及Mayor聚合算子等。(3) 聚合算子的交叉迁移性研究。建立了系列聚合算子交叉迁移性成立的条件，如一致模及可换聚合算子等；得到了带有吸收元的聚合算子的可换性方程的解；完全刻画了两类双对称聚合算子。(4) 聚合算子的分配性研究。我们刻画了几类重要聚合算子的分配性方程，如一致模、半一致模、2-一致模、半t-算子及一致零模等。(5) 聚合算子的凸组合与模条件研究。对聚合算子的凸组合，得到结论：只有在某些平凡条件下，它们的凸组合仍为一致模；对聚合算子的模条件，我们建立了几类重要聚合算子的模方程成立的条件，如半t-算子、半一致模、2-一致模、Overlap和Grouping函数等。(6) 蕴涵算子的构造与刻画。提出了弱边界模糊蕴涵的概念，从而将模糊蕴涵与余蕴涵建立在统一的框架下；建立了旋转法模糊蕴涵和基于单变量函数的模糊蕴涵。(7) 基于我们刚刚引入的序和蕴涵，研究了该类蕴涵算子关于三角模和三角余模的分配性问题, 并给出对应分配性方程解的完全刻画。本研究一方面丰富完善了信息聚合和推理的算子理论，另一方面为模糊系统设计提供了有效方案和合理的理论依据。