自然数表为三角形数线性组合的方法数与eta函数乘积

The purpose of the project is to study the number of representations of a given positive integer as a linear combination of several triangular numbers, reveal the connections between the number of representations of n as a linear combination of several triangular numbers and the number of representations of m as a linear combination of several squares， and prove some conjectures of the applicant. In addition, we try to confirm Ramanujan’s conjectures on products of eta functions and Euler products for certain Dirichlet series, investigate the properties of multiplicative functions related to eta products or eta quotients, reveal the connections with Jacobsthal sums and try to solve the applicant’s related conjectures.

本项目要研究自然数表为三角形数线性组合的方法数公式，揭示其与自然数表为平方数线性组合方法数之间的联系，解决申请人提出的一些猜想。此外，研究Ramanujan提出的一些关于eta函数乘积和Dirichlet级数Euler乘积的一些猜想，研究与eta函数乘积或eta函数商有关的可乘函数性质，揭示eta函数乘积与Jacobsthal和之间的联系，努力解决申请人的一些相关猜想。

数论的经典课题之一就是研究自然数表为平方数或三角形数线性组合的问题，受Cooper和Williams相关研究工作的启发和鼓舞，主持人孙智宏利用数学软件Maple做计算从而提出许多猜想。本项目要研究自然数表为三角形数线性组合的方法数公式，揭示其与自然数表为平方数线性组合方法数之间的联系，解决孙智宏提出的许多猜想。项目组成员出版标注基金号的SCI论文10篇，在系列论文中孙智宏利用Ramanujan theta函数恒等式获得自然数表为三个或四个三角形数线性组合的表示方法数的许多精确公式，还建立了自然数表为若干个三角形数线性组合的表示方法数之间的30个转换关系式。此外，系统研究了包含二项式系数和类似Apery数的同余式，揭示其与二元二次型、Euler数、Fermat商等的联系，并提出许多有趣的猜想。这些研究推动了数论的发展。