Jacobi多项式，超同余式与二元二次型

The purpose of the project is to study and solve many conjectures on congruences concerning binary quadratic forms posed by Zhi-Wei Sun and the applicant. In particular, we will determine certain sums involving binomial coefficients or Apery polynomials modulo the square of a given odd prime. Our tools are Jacobi polynomials, Legendre polynomials, hypergeometric series transformations, Jacobsthal sums, Zeilberger's algorithm and the theory of elliptic curves over finite fields. By combining methods from number theory, combinatorics and analysis, and using the work of Morton and Ishii on the number of points on elliptic curves over finite fields and various transformation formulas for hypergeometric series, we will reveal the connections among Legendre polynomials (Jacobi polynomials), binary quadratic forms with class number 1,2 or 4 and super congruences, and construct the parameters in the representations of primes by certain binary quadratic forms via congruences. In the project, we also investigate some super congruences not involving quadratic forms and solve some related conjectures posed by Zhi-Wei Sun and Zudilin.

本项目要研究和解决孙智伟和申请人提出的许多涉及素数的二次型表示的超同余式猜想，特别要确定一批包含二项式系数之和式及包含Apery多项式之和式模奇素数平方之同余式.我们的方法工具是Jacobi多项式，Legendre多项式，超几何级数变换，Jacobsthal和，Zeilberger算法及有限域椭圆曲线理论。通过综合利用数论、组合、分析方法，特别是利用Morton和Ishii关于有限域上椭圆曲线点数的工作以及各种超几何级数变换公式，我们将揭示Legendre多项式及更一般的Jacobi多项式与类数为1,2或4的二次型及超同余式的联系,通过同余式构造素数二次型表示中的参数。我们也研究与二次型无关的超同余式，力图解决孙智伟和Zudilin提出的相关猜想。

受Rodriguez-Villegas和Mortenson关于超同余式工作的鼓舞，本项目主要致力于研究和解决孙智伟和孙智宏提出的涉及素数二次型表示和Bernoulli数及Euler数的一系列超同余式猜想。项目组成员共出版标注基金号的论文24篇，其中SCI(E)论文22篇。在孙智宏关于超同余式的系列论文中，他通过应用WZ方法、组合恒等式和关于Bernoulli多项式和Euler多项式的性质获得了7类包含一个参数a的模为素数平方或立方的一般超同余式，通过取特例就解决了孙智伟的许多猜想，其中2014年发表于Journal of Number Theory的一篇论文已被他人引用11次。此外孙智宏还对Catalan-Larcombe-French数和Franel数进行了系统研究，得出许多恒等式和超同余式，还提出了一系列有待解决的包含这两个序列的超同余式猜想。孙智宏关于超同余式及类似Apery序列的研究是该领域的重要进展，引发了许多后续研究。孙智宏还揭示了n表为四个三角形数线性组合的表示方法数与n表为四个平方数线性组合的表示方法数之间的深刻联系。