Borcherds乘积与eta商

Modular form is one of the main objects in number theory and it has deep connections with other mathematical theories. Borcherds lift sends elliptic modular forms to modular forms on orthogonal groups, and the outcoming modular forms have natural expression of infinite products, called Borcherds products. The theory of Borcherds lift has close connections with the theory of Kac-Moody algebras, finite group theory and mathematical physics. On the other hand, eta quotient is a basic object in classical number theory, modular form theory and combinatorics. Built with Dedekind eta function, an eta quotient is a modular form with a natural product expression. In this project, firstly we study the relation between eta quotient and Borcherds product, or when an eta quotient can be a Borcherds product. Then with the aid of geometry we consider the converse problem in case of signature (2,1), or equivalently we characterize Borcherds products in general. Finally, we research on the possible levels of simple holomorphic eta quotients and the existence of irreducible Borcherds eta quotients. This project will improve our understanding on Borcherds product and eta quotient, and thus has important theoretical significance.

模形式是数论中的主要研究对象之一，与众多数学理论都有着深刻的联系。Borcherds提升把椭圆模形式提升为正交群上的模形式，而提升之后的模形式可以自然地表达为无穷乘积，称为Borcherds乘积。Borcherds提升理论与Kac-Moody代数理论、有限群论、数学物理等多个数学分支有紧密的联系。另一方面，作为传统数论、模形式理论和组合学中的基本研究对象，由Dedekind eta函数构建的eta商也可以表达为无穷乘积。此项目首先考察eta商和Borcherds乘积的关系，即何时eta商为Borcherds乘积；其次结合几何方法考察惯性指数为(2,1)时的Borcherds逆问题，即在此情形下如何刻画Borcherds乘积；最后研究简单全纯eta商的阶的分布以及不可约Borcherds eta商的存在性。本项目将加深我们对Borcherds乘积与eta商的认识，具有重要的理论意义。

Borcherds提升和eta商均是传统模形式理论中的两个重要研究对象，二者关联紧密，本项目的主要研究内容为Borcherds提升的构造以及Borcherds提升和eta商关系的刻画。前者的显式构造已完成，eta商与模单位可等同，后者等价于考察Borcherds提升与模单位的关联，即Borcherds逆问题。此部分还未能完全解决，后期纳入了多个经典模形式问题。本项目已完成研究内容如下。.(a) Borcherds乘积：完成了半整权模形式上复值和向量值模形式空间同构的构造和证明，进而显式表达了惯性指数为 (2,1) 时的 Borcherds 乘积，推广了整权情形下的相关结论，比如 Zagier对偶现象。为项目进一步开展提供数据支撑。.(b) 双参数Eisenstein级数：分别就模形式理论中模性L-函数的均值意义下的一致非消灭性质、带扭的Cohen核Petersson内积的有理性、Hilbert模形式下双参数Eisenstein级数理论的建立以及在对应L-函数特殊值代数性质上的应用等几个方面进行了探讨，充分发掘了双参数Eisenstein级数在各个方面的应用。此理论在经典问题搬移至Hilbert模形式的过程中将发挥重要作用，为后续问题的展开提供了基础。.(c) 特征形式乘积等式：提出了Hilbert模形式下特征形式乘积等式的有限性猜想，并分别就二次情形和固定一般扩张次数情形完成了证明。这推广了椭圆模形式情形的相关结论。目前针对猜想的全阶版本，即不固定扩张次数时全阶情形的特征形式乘积等式的有限性，已经取得了进展。.(d) 模形式Fourier系数变号问题：在均值意义下优化了半整权尖形式的Fourier系数第一次变号的上界，对前人结果进行了改进，在相关问题上具有重要的潜在应用。.(e) Hilbert 情形下 Poincare 级数的非消灭性质：推广了 Rankin和 Luo的经典结果。..在项目执行期间，发表学术论文7篇，其中SCI收录7篇（由于没有经验，2020年以前的3篇未作国自然面上经费标注），培养了博士研究生1名，3名在读，硕士研究生3名，两名在读。