多项式环上的Keller映射和局部幂零导子的结构研究

多项式环上的自同构和导子理论对于交换代数和仿射代数几何的研究具有重要意义. Hilbert第14问题以及仿射代数几何领域的一些著名公开问题(如Tame生成子问题、Jacobi猜想、消去问题等)都与多项式环上自同构和导子的研究密切相关. .本项目将对多项式环上的某些Keller 映射和局部幂零导子的结构进行深入研究，具体包括: (1) 研究多项式自同构的各型约化以及Keller映射的各种不变量，刻画余不变量较小的Keller映射的结构, 由此构造新的tame自同构类和稳定tame自同构类; (2) 借助李代数的表示理论刻画幂零的Hesse矩阵，并由此刻画齐次梯度映射的结构; (3) 研究多项式环上的某些局部幂零导子(特别是 nice导子)的常数环的结构, 并将其用于刻画齐次梯度映射, 进而用于研究Jacobi猜想. 对局部幂零导子的常数环的刻画还有助于研究Hilbert第14问题和消去问题.

本项目研究了多项式环上某些Keller映射和局部幂零导子的结构，完成了预期目标，取得了如下成果：(1) 研究了多项式自同构的各型约化、多重次数以及tame性. 刻画了tame自同构的多重次数，在某些特定条件下解决了Karas提出的多重次数问题；描述了满足初等约化以及其它各型约化的多项式自同构的性质, 并建立了II型和III型约化的存在性与自同构的多重次数问题间的联系；研究了Z_2分次自同构的tame性. (2) 研究了某些特殊的Keller映射的结构. 一方面，描述了Keller映射的余不变量的性质，利用Hopf代数的余根过滤刻画了具有较小余不变量的Keller映射的结构，证明了余不变量小于n+3的Keller映射(以及余不变量小于n+6的2次Keller映射)必为tame自同构. 另一方面，研究了赋值Jacobi矩阵之和可逆的Keller映射的结构，证明了这类Keller映射可逆， 并确切描述了这类映射与可加幂零Keller映射间的关系，此外还给出了判断赋值Jacobi矩阵之和是否可逆的有效算法．(3) 研究了多项式环上导子的交换基以及高阶导子的常数环. 利用Darboux多项式给出了多项式环上一组导子成为交换基的等价条件;刻画了在不同基域下高阶导子的常数环间的关系，证明了高阶导子的常数环可由闭多项式生成.