分数阶Volterra积分微分方程的快速算法研究

This project will focus on the fast numerical method of fractional Volterra integro-differential equation to carry out indepth and systematic research. The main contents are as follows：(1) Using the modified Block-by-Block method and fast Fourier transform, a semi-discrete fast numerical scheme of fractional Volterra integro-differential equation for discretization of time variables is established, and the error analysis and stability of the semi-discrete numerical scheme are analyzed.(2) For (1) establishing a semi-discrete fast numerical scheme, the first plan uses the finite difference method and the fast Poisson algorithm to discretize the fractional order Volterra integro-differential equation directly, and the second plan uses the spectral method to discretize the spatial variables and chooses a reasonable approximation strategy to transform the coefficient matrix into the block Toeplitz matrix, and uses the fast Fourier algorithm to discretize directly. The full discrete fast numerical scheme is established by transform.(3) By using reasonable discretization schemes, the fast numerical schemes of (1) time variable discretization and (2) space variable discretization are coupled into full discrete fast numerical schemes for solving fractional Volterra integro-differential equations, and their stability, convergence and computational complexity are analyzed.

本项目将围绕分数阶Volterra积分微分方程的快速数值计算方法开展深入、系统的研究，主要内容是：(1)利用修正的Block-by-Block方法和快速Fourier变换建立分数阶Volterra积分微分方程关于时间变量离散的半离散快速数值格式，并分析该半离散数值格式的误差分析和稳定性。(2)对于(1)建立半离散快速数值格式，第一种方案利用有限差分法和快速Poisson算法直接离散建立分数阶Volterra积分微分方程全离散的快速有限差分格式；第二种方案利用谱方法对空间变量进行离散并选择合理近似策略把系数矩阵变为块状Toeplitz矩阵，并利用快速Fourier变换建立全离散的快速数值格式。(3)利用合理的离散方案把(1)时间变量离散的快速数值格式和(2)空间变量离散的快速数值格式耦合成为求解分数阶Volterra积分微分方程全离散的快速数值格式，并分析其稳定性、收敛性和计算复杂性等。

分数阶Volterra积分微分方程比整数阶Volterra积分微分方程更能真实客观地刻画出许多复杂的物理过程，该类方程中的分数阶导数和Volterra积分反映了物理过程的记忆或反馈性质，如具有记忆性质材料的热传导问题，多孔结构粘弹性体的压缩问题以及核反应堆中的热交换过程等。项目系统研究了分数阶积分微分方程高阶数值格式和快速数值算法，针对非线性分数阶常微分方程、高维非线性分数阶Volterra积分方程、时间右Caputo型分数阶偏微分方程、脉冲分数阶常微分方程、时间分数阶扩散方程、时空分数阶扩散方程、时间分数阶扩散方程最优控制问题等建立了时间一致收敛精度高阶数值格式和快速数值算法。项目系统研究了在相场模型和粘弹性流体的瑞利-泰勒问题，针对二嵌段共聚物熔体相场模型、三嵌段共聚物熔体相场模型、脂质囊泡相场模型、非线性耦合的变密度和粘度相场模型和非局部拉格朗日乘数的相场晶体模型，建立了无条件能量稳定和完全解耦的高效数值格式，并研究了具有内表面张力的层状粘弹性流体的瑞利-泰勒问题的稳定性。项目系统研究了薛定谔特征值问题，针对球面域上和圆域上薛定谔特征值问题建立了高效数值算法。通过本项目的研究，为分数阶Volterra积分微分方程、相场模型和薛定谔特征值问题建立了高阶和快速的数值格式。