非对角型拟线性退化抛物方程组弱解的正则性

Degenerate parabolic systems constructed by vector fields are related to physics, biology and so on, and regularity of solutions to parabolic systems is the key for the existence and uniqueness, therefore it is important to study the regularity of weak solutions to parabolic systems. However, up to now, only a few results about the regularity of weak solutions to nondiagonal degenerate parabolic systems have been built by priori estimates..This project is devoted to the research of global regularity for weak solutions to nondiagonal quasilinear degenerate parabolic systems formed by Hörmander's vector fields, and investigate the influence to regularity for weak solution by the coefficients and the lower order items..The innovations of this project are: (1) Extending nondiagonal elliptic systems in Euclidean space to nondiagonal parabolic systems in Hörmander's vector fields, and promoting integrability; (2) Improving the local regularity of weak solutions to the global case..This project will promote the study of the regularity to degenerate parabolic systems, and provide a theoretical basis for the further study of ultraparabolic equations and the equations with drift.

由向量场构成的退化抛物方程组与物理学、生物学等学科有关，其正则性是研究抛物方程组解的存在性和唯一性的基础，因此对方程组弱解正则性的研究具有重要的意义。然而，目前为止，较少有学者利用先验估计法研究非对角型退化抛物方程组弱解的正则性。.本项目致力于研究由Hörmander向量场构成的非对角型拟线性退化抛物方程组弱解的全局正则性，并探讨系数和低阶项对弱解正则性的影响。.本项目的创新之处：(1) 将欧氏空间中非对角型椭圆方程组扩展到由Hörmander向量场构成的非对角型退化抛物方程组的情形，并将其可积性进行提升；(2) 将弱解的局部正则性改进到全局情形。.本项目将促进退化抛物方程组正则性的研究，为超抛物方程和带漂移项方程问题的进一步研究提供理论依据。

抛物型偏微分方程在热力学和电磁学以及概率论的解析处理中有着重要的应用，因此对抛物方程的研究有着重要意义。本项目主要利用先验估计法研究退化抛物方程组。为了更好的研究抛物方程组解的正则性，本项目也对退化椭圆方程组进行了研究。在系数和低阶项满足不同的假设条件下，研究了退化方程(组)弱解的正则性，如有界性、可积性、Morrey正则性、Hölder正则性。本项目研究的具体内容为：.1. 研究了低阶项满足可控增长条件下的具不连续系数非对角型拟线性退化抛物方程组，得到弱解的局部高阶可积性和高阶Morrey正则性，并通过同构关系得到弱解的Hölder正则性。.2. 考虑了低阶项满足一般性增长条件下的具不连续系数非对称型拟线性退化抛物方程组，通过Hölder反向不等式得到弱解的局部高阶可积性。.3. 针对系数有界且属于VMO空间的超抛物方程建立了弱解的局部高阶可积性、高阶Morrey正则性和Campanato正则性。.4. 讨论了低阶项满足一般性增长条件下的具不连续系数非对角型拟线性退化椭圆方程组障碍问题，得到弱解的局部高阶可积性、高阶Morrey正则性和Hölder正则性。.5. 研究了半线性退化椭圆方程解的不存在性结果，并得到非负解的Hölder正则性。.6. 考虑了半线性退化椭圆方程解的奇异性与退化性，并在满足边值条件时得到方程正解的一致有界性。.7. 对加权各项异性积分泛函建立了极小元的全局高阶可积性和有界性，并在障碍问题下讨论了极小元的全局高阶可积性和有界性。