拟凸区域上的抛物型方程的正则性

时空相关域上的抛物型方程在晶体生长、金属镀膜、肿瘤扩散等实际问题中有着广泛的应用。本课题将研究与时间相关的拟凸区域上的散度型抛物方程和抛物型p-Laplace方程的整体正则性，旨在探讨区域边界的几何性质对解的正则性的影响，并力图寻找 正则性成立的最优区域。结合抛物型空间自身的尺度变换性质，我们将首先给出抛物型拟凸区域的定义，并讨论此类区域的几何性质，证明此类区域局部上可以用抛物型凸区域来逼近；在边界附近，利用抛物型凸区域上的齐次方程的解来逼近拟凸区域上的非齐次方程的解，从而得到边界附近的解的先验估计。紧性方法、Vitali覆盖引理，以及反向 不等式将是本课题研究中的重要分析工具。本课题所用研究方法和结论将为进一步探讨区域的几何性质和方程解的正则性之间的关系提供新的证明思路和理论依据。

本项目主要研究拟凸区域上的散度型抛物方程的整体正则性。为完成本项目的研究目标，我们根据方程自身的结构得到对应的齐次方程的局部Lipschitz估计; 其次结合抛物方程的尺度变换性质，定义和抛物型方程相适应的时空拟凸区域，并结合时空拟凸区域的几何性质，用凸区域去局部逼近拟凸区域; 利用紧性方法, 用凸区域上的齐次方程的解局部逼近拟凸区域上的非齐次方程的解; 最终利用极大函数的技巧以及Vitali覆盖的技巧，得到解的整体正则性. 我们主要研究满足小BMO条件的线性抛物型方程和抛物型p-Laplace型方程, 所研究的正则性分为两类，一类为Sobolev正则性, 另一类为Sobolev估计的推广---Orlicz正则性.