Bargmann-Fock空间的Gleason问题及相关算子理论

This project deals with Bargmann-Fock spaces in several complex variables and the closed algebra generated by strongly localized operators. We will focus on the Gleason problem on Bargmann-Fock spaces. Moreover, we will give the definition of Schatten-Herz classes operators on Bargmann-Fock spaces, and characterize the compactness, Schatten classes and Schatten-Herz classes of the closed algebra generated by strongly localized operators on them. Notice that, the Gleason problem and Schatten-Herz class on Bargmann-Fock spaces are first introduced. However, there is no precise formula of the Bergman kernel and the unitary operator is invalid in the setting of Bargmann-Fock spaces. Many problems on these spaces are still open. Applying mordern Functional Analysis, Differential Geometry and PDE, we shall use new methods to explore the hot topics on function spaces and operator theory.

本项目以多复变数Bargmann-Fock空间及强局部算子所生成的闭代数为研究对象；探讨该空间上关于给定基点a的Gleason问题的可解性；给出该空间上线性算子Schatten-Herz类的定义，研究强局部算子生成的闭代数在该空间上的紧性、Schatten类和Schatten-Herz类性质。本项目将首次研究Bargmann-Fock空间的Gleason问题和线性算子的Schatten-Herz类。由于Bargmann-Fock空间的再生核没有显式表达且不能利用自同构这一工具，所以对该空间的研究还很不深入，许多问题尚未开展研究。我们将着力体现多复变理论与泛函分析、复几何和偏微分方程等的结合，在学科的交叉融合上探索新问题，力求在方法和技巧上有较大的创新。

本项目着力体现了多复变理论与泛函分析、复几何和偏微分方程等的结合，在方法上有了一定的创新。本项目已完成各项研究内容，给出了Bargmann-Fock空间上正Toeplitz算子的Schatten-Herz类定义并刻画了其性质，解决了该空间上关于给定基点a的Gleason问题的可解性；研究了强局部算子生成的闭代数在该空间上的紧性特征和本性范数估计。相关结果已形成学术论文，已在Complex Anal. Oper. Theory上在线发表论文1篇，有两篇论文分别被数学年刊（英文版）和Taiwanese J. Math. 录用，另有两篇论文已投稿。部分成果在相关学术会议上进行了报告，得到了与会专家的肯定。以本项目的研究结果及前期工作为基础，项目组负责人在2016年获得了国家自然科学基金青年项目。