希尔伯特变换方法定价金融衍生品

Though discretely monitored path dependent options have wide applications in practice, there are essentially no analytical solutions available under a broad class of models, and even numerical pricing is difficult. Developing computational methods and approximation methods for discretely monitored path dependent options is one of the most important themes of the financial derivative research. The main objective of this project is to adopt the Hilbert transform method for pricing various discrete path dependent options under most models, and to establish a complete system to improve the application of Hilbert transform method in the field of financial mathematics. This project proposes to carry out research using the Hilbert transform method in the following four topics: (1) pricing discrete barrier and Bermudan options under a regime switching Lévy process, which is a popular economic model; (2) pricing lookback options and computing exponential moments of the discrete maximum of a general model; (3) pricing discrete Asian options; (4) two-dimensional Hilbert transform and its financial application. Finally, this project attempts to conclude that the Hilbert transform is a very powerful pricing method in terms of efficiency, accuracy, applicability to models and products, and complexity of algorithm. Therefore, this method should be widely used in financial industry.

尽管离散监测路径依赖期权在金融市场中有着广泛的应用，期权的价格却无解析解，甚至利用数值方法定价也变得较为困难。所以开发准确有效的计算方法和近似方法为离散路径依赖型期权定价成为金融衍生品研究的重要主题。本项目的研究目标是利用希尔伯特变换方法在大多数模型下对大部分离散路径依赖期权定价，从而建立一套完整的体系以完善希尔伯特变换方法在金融数学领域中的应用。本项目拟利用希尔伯特变换方法做如下四个方面的研究: (1)在流行的经济模型-体制转换莱维模型下对离散障碍期权和百慕大期权定价；(2)在一般模型下对离散回望期权定价及研究最大(小)值分布；（3）离散亚式期权的定价；（4）二维希尔伯特变换的金融应用。最后，本项目组拟从时效性、准确度、对模型和产品的适用性、算法复杂度四个方面，得出希尔伯特变换方法是一种很强有力的定价方法。此种方法可以广泛应用于金融业界，从而具有显著的应用价值。

尽管离散监测路径依赖期权在金融市场有着广泛的应用，此类期权的价格却无解析解，甚至利用数值方法定价也变得较为困难。所以研发准确高效的计算方法和近似方法对离散路径依赖期权进行定价成为金融衍生品的重要研究主题。本项目组成功地构造出希尔伯特变换算法在一般模型（general model）下对不同种类的离散路径依赖期权定价，从而建立一套完整的理论和应用体系以完善希尔伯特变换方法在金融数学领域中的应用。本项目组从时效性、准确度、对模型和产品的广泛适用性、算法复杂度四个方面，得出希尔伯特变换方法是一种很强有力的定价方法，可以广泛应用于学术界和金融业界，从而具有显著的应用价值。在本项目中我们主要完成了三方面的工作。在第一项工作中，我们成功地建立统一框架，构造出希尔伯特变换算法在一般模型下对障碍期权、百慕大期权和回望期权进行定价。我们的希尔伯特变换算法适用的模型包括体制转换莱维模型、随机波动率模型以及time-changed Lévy processes等。研究成果已被整理成文章准备投稿至Management Science。我们的第二项工作是构造广义的希尔伯特变换方法在一般模型下对离散几何平均亚式期权定价。亚式期权的定价完全不同于障碍期权、百慕大期权、回望期权的定价，所以我们使用的广义的希尔伯特变换方法同传统的希尔伯特变换不一样。此项工作被整理成文章准备投稿至SIAM Journal on Financial Mathematics。在第三项工作中，我们深入研究了一大类随机波动率模型的解析性质和金融应用。我们巧妙地利用测度变换，建立一个统一的理论框架，推导出解析的股票价格的对数的条件特征函数。此项工作已整理成文章初稿，计划投SIAM Journal on Financial Mathematics。