几类非线性动力系统的局部结构分支相关问题研究

This project will focus on investigating related bifurcations of localized structures in several nonlinear dynamical systems, including the reversible or non-reversible, conservative or non-conservative systems, Z_2 symmetric or non-Z_2 symmetric systems etc. Localized structures (such as spots, spiral waves, rings, etc.) organize the dynamics of many biological, chemical and physical processes and have many important applications in all kind of subjects. We will aim at studying the existence, nonlinear stability and parameter dependence of localized structures. The geometric singular perturbation theory and homoclinic bifurcation theory will be exploited in the process of studying the one-dimensional and two-dimensional localized structures near Turing bifurcation and Hamiltonian Hopf bifurcation. By using analytical and numerical techniques, we will determine the condition of occurence, nonlinear stability and classification of localized structures, including the snaking region. Finally, we hope to obtain some particular concern, ground-breaking and original achievements.

本项目主要研究几类非线性动力系统中局部结构的分支动力学行为, 尤其是反转或非反转、保守或非保守，Z_2对称或非Z_2对称等具有不同性质的动力系统的扰动分支问题。研究静态或时间周期局部斑点、螺旋波和环等局部结构的重要意义在于局部结构是物理、化学、生物等过程发生复杂动力学行为的重要标志, 有着极为重要的理论价值和应用价值。本项目我们将主要采用几何退化扰动技巧和动力系统分支理论对Turing分支和Hamiltonian Hopf分支附近的一维或二维局部结构展开进一步深入的研究, 运用解析和数值方法研究局部结构的存在性、非线性稳定性及参数依赖性等特征, 发现产生局部结构的条件、分类及决定和影响空间结构的稳定性的因素, 对局部结构的蛇形分支、孪形分支等分支行为及其形成机理进行深入的研究和探讨, 力求在该方面取得令国内外同行关注的一系列具有突破性和原创性的研究结果。

本项目主要采用动力系统理论和方法对各类系统的同宿环、异宿环和极限环等局部结构分支展开进一步的研究，运用解析和数值方法研究局部结构的存在性、非线性稳定性及参数依赖性等特征，发现产生局部结构的条件、分类及决定和影响空间结构的稳定性的主要因素，对局部结构分支行为及其形成机理进行深入的研究和探讨。我们针对打破反转对称的Swift-Hohenberg方程的snake分支和isola分支进行研究，得到了奇点的Hamiltonian-Hopf分支和1-同宿、2-同宿的蛇形分支和isola分支情况。同时研究了打破两类对称的Swift-Hohenberg方程的新的Round-snake分支和round-isola分支的存在性。通过局部活动坐标架方法在同宿轨道邻域附近建立局部活动座标架，研究了带有轨道翻转和倾斜翻转的异维环分支的扰动动力学行为，证明了同异宿轨道和周期轨道等分支的存在性，并给出了多重周期轨道和异宿环的共存性。另外，我们积极挖掘该类分支现象在生物模型中的存在性，率先发现了HIV疾病模型中的周期轨道的Isola分支的存在性，同时在研究与Hopf分支相关的周期轨道分支基础上，注重发现同异宿轨道分支的存在性和生物意义，并充分挖掘其隐含的生物意义。研究了HIV中细胞于细胞间的相互作用的真正意义，揭示了其正向作用，而不是通常所说的副作用。尤其是发现了HIV存在周期解的isola分支，进一步解释了该类疾病的复杂动力学行为，对艾滋病治疗和预防提供了一定的理论支持。针对带有不同边值条件的系统的周期解进行了较为深入的研究，得到了周期解的精确形式。针对SIRS模型，采用动力系统的方法揭示各类分支的存在性，从Hopf分支和跨临界分支出发，进一步揭示同异宿环分支的存在性及其生物意义，给出了系统产生和坍塌的参数范围。另外，我们研究了带有双曲正切泛函响应和强Allee效应的Rosenzweig MacArthur模型的动力学行为；同时，针对生态学中的hydra effect，我们也从动力系统角度给出进一步的分析和该现象存在的参数范围，进一步揭示了其增长率和死亡率之间的内在联系。