非线性概率下若干极限问题的研究及其应用

Based on some problems about preferences theory, asset pricing and risk measurement, this project will study some limit properties of random variables and stochastic processes under nonlinear probability and their applications in the financial markets. The main contents include the following: (1) establish the law of large numbers under the framework of the upper and lower expectation where the sequence of random variable is independent about exponential functions, also establish the Marcinkiewicz-Zygmund law of large numbers where the sequence of random variable is negative dependent; (2) study the law of the iterated logarithm and its invariance principles under the sublinear expectation space; (3) show the almost sure central limit theorem for sublinear expectation space. By employing the theories of probability, nonlinear stochastic analysis, financial mathematics, BSDE and PDE, we research and discuss the limit properties of random variables and stochastic processes under nonlinear probability. Further, given the actual situation of financial market, we will study the applications of our limit theorems in asset pricing and risk measurement and other aspects of financial market. Combining the analysis of data in financial market, we will build a proper mathematical model, and strive to give reasonable financial derivatives pricing mechanisms and risk metrics. We will also give the difference between our model and the traditional asset pricing or risk measurement.

本项目基于偏好理论、资产定价及风险度量中的问题，开展在非线性概率下随机变量序列和随机过程极限性质及其在金融市场中的应用的研究。主要研究内容包括：(1)上下期望框架下随便变量序列关于指数函数独立的大数定律和随机变量序列负相关的Marcinkiewicz-Zygmund型大数定律的研究；(2)次线性期望下的重对数律以及不变原理的研究； (3)次线性期望下almost sure中心极限定理的研究。本项目拟使用概率论、非线性随机分析、金融数学、倒向随机微分方程、偏微分方程等相关理论为工具来研究以上内容，系统的讨论和刻画非线性概率下随机变量序列的各种极限性质。进一步的，结合金融市场发展的实际情况，研究这些极限性质在资产定价和风险度量等方面的应用，对金融市场中的数据进行理论分析，建立恰当的数学模型，力争得到合理的金融衍生产品定价机制和风险度量标准，并给出与传统的资产定价和风险度量的区别。

因为在经济中的偏好分析、金融中的资产定价和风险度量过程中产生的很多问题无法用经典的可加概率模型来描述，所以非线性概率/期望成为数学家和经济学家热点研究问题。本项目主要研究了非线性概率空间中的极限性质和倒向随机微分方程的相关性质及其应用。主要研究成果包括：（1）在非线性概率空间中，得到了指数负相关随机变量序列的强大数定律，渐近几乎负相关随机变量序列的强大数定律。（2）得到了非线性概率空间中的各种不等式，应用不等式得到了相关的大数定律或者强收敛定理，作为应用得到了非线性概率空间中的almost sure中心极限定理。（3）得到了次线性期望下行独立随机变量阵列的强极限定理，给出了Marcinkiewicz-Zygmund型强大数定律和重对数律。给出了上概率空间中随机变量负相协的定义，通过对随机变量阵列收敛性质的研究，得到上概率下行内负相协随机变量阵列的重对数律，并同时给出依容度收敛的弱重对数律。（4）研究了某类倒向随机微分方程的马氏性，得到了该类倒向随机微分方程的解的正则性，并找出了与半线性倒向抛物偏微分方程的关系。作为应用，研究了基于资本大小的股票价格下欧式期权的定价问题。这些研究成果为刻画不完备金融市场中的相关性质提供了理论工具。