基于图与超图的度约束子图中的若干问题的研究

Matching and degree constrained subgraphs theory of graphs and hypergraphs is always one of the main research fields in graph theory. Recently, matchings of graphs and hypergraphs have attracted much attention of famous scholars including Professor Rödl (a member of both the US National Academy of Sciences and the European Academy of Sciences). .The goal of this project is to investigate matchings and degree constrained subgraph problems of graphs and hypergraphs. First, we will study on the existence problems of almost perfect matchings and fractional perfect matchings of hypergraphs. We will focus on exploring the relation between almost perfect matchings and fractional perfect matchings of hypergraphs and expect to obtain some sufficient conditions for the existence of almost perfect matchings and fractional perfect matchings of hypergraphs in term of its minimum r-degree. Secondly, we will study on degree constrained factor problems of graphs and hypergraphs. We will mainly focus on exploring k-factors and enumeration problems of disjoint perfect matchings of graphs and hypergraphs. Meanwhile, some sufficient conditions for the existence of k-factors and disjoint perfect matchings of graphs and hypergraphs will be presented according to its minimum r-degree. .The results of this research will enhance the understanding of matchings and degree constrained factors of graphs and hypergraphs and boost the domestic research on these topics.

图与超图的匹配及其度约束子图理论一直是图论中的热门研究方向之一。特别地，图与超图的匹配问题最近受到包括美国与欧洲双科院士Rödl教授等国际著名组合数学学者的关注。.本项目旨在研究图与超图的匹配及其度约束子图问题。首先，项目申请人拟研究超图的几乎完美匹配与分数完美匹配的存在性问题，并研究超图的分数完美匹配与超图的几乎完美匹配的关系问题，期望依据超图的最小r-度获得其几乎完美匹配与分数完美匹配存在性的充分条件；其次，项目申请人拟研究图与超图的度约束因子问题，主要研究图与超图的k-因子与不相交完美匹配的计数问题，期望依据图与超图的最小r-度获得其k-因子与不相交完美匹配存在性的充分条件。.本项目的研究成果将有助于研究者更好地理解图与超图的匹配及其度约束子图理论，并增强国内在该方向上的研究。

超图匹配及因子理论一直是组合数学中国际主流研究方向之一。特别地，超图彩虹匹配问题最近受到普林斯顿大学Alon教授、牛津大学Keevash教授、以色列特拉维夫大学Aharoni教授等著名学者的关注，其都在相关研究领域做出系列研究工作，超图彩虹匹配问题成为当前极值组合领域热门研究方向。.项目组成员系统地研究了超图的分数匹配、匹配、彩虹匹配及图的度约束因子的存在性问题。在本项目支持下，项目组成员解决了超图匹配及图的度约束因子领域的一些公开问题，并在超图的彩虹匹配研究领域获得方法上的突破，主要研究成果有：与佐治亚理工学院郁星星教授等合作解决了Kuhn教授等人所提的超图几乎完美匹配猜想，依据超图的d-度给出超图几乎完美匹配存在性的紧的充分条件；与郁星星教授等合作对于世界数学家大会45分钟报告人Sudakov教授所提的超图彩虹匹配猜想取得研究进展，给出了第一个猜想成立的线下条件,并与马杰教授等合作证明该猜想对于3-超图成立；与研究生郭名阳、毛丁甲合作证明了Frankl教授的超图稳定匹配猜想对于3-超图成立。通过本项目的实施，项目组成员进入超图匹配及彩虹匹配这一国际上热门的研究领域，并在超图匹配研究领域获得系列研究成果，研究成果具有国际影响力，增强了国内在该领域的研究。