关于带有跳动的H-因子的存在性条件研究

图的因子理论一直是图论中非常活跃的一个研究分支，其在BIBD、Steiner设计以及匹配理论中均具有十分广泛的应用。图的因子可分为分支因子和度约束因子（即H-因子）。H-因子理论中研究的核心问题即是H-因子存在性问题，及其与一些图论参数之间内在联系问题。连续的H-因子（即(g,f)-因子）已经有许多充分条件，如范条件、独立数条件等。然而对于跳动至多为一的H-因子，尽管Lovasz(1972)给出了一个充要条件，但由于使用的困难性，其与许多图论参数的关系仍亟待研究。不同于已有的交错路方法，本项目拟综合采用推广的交错迹理论以及代数特征值方法等多种工具，来进行H-因子存在性理论的研究。本项目拟给出一些易于验证的H-因子存在的充分条件，揭示带有跳动的H-因子与连续的(g,f)-因子之间的内在联系，为进一步研究带有跳动的H-因子奠定基础。

本项目系统地研究了图的不连续度约束因子问题, 同时研究了图的度约束因子与图的一些不变量之间的关系问题. 主要包括: (1) Lovasz(1972)对于跳动至多为一的度约束因子给出一个充要条件,并给出一个结构刻画, 项目负责人与合作者通过把交错迹推广到可扩迹,对于Lovasz的结构定理给出一个图论证明; (2) 研究了正则图的正则因子问题,依据正则图的第三大特征值给出其包含正则因子的充分条件, 并构造出极图; (3) 对于图的完美匹配与完美2-匹配, Tutte教授都给出充要条件, 项目负责人与合作者推广了该结果, 对于图的完美k-匹配给出一个充要条件; (4) 项目负责人与合作者合作解决了Cui与Kano教授在1988年提出的关于度约束因子存在性的一个公开问题,该结果的证明也蕴含了(1,f)-奇因子定理的证明; (5) 项目负责人与合作者研究了跳动多于一的度约束因子问题,解决了Akbari与Kano教授提出的一个公开问题；证明正则图包含一个H-因子，这推广了Tutte与Thassmon的结果; (6) 项目负责人研究了图的分数因子问题,对于图包含所有的分数(g,f)-因子给出一个充要条件。