Atiyah同调类与Duflo-Kontsevich理论

Classical Atiyah classes are obstructions to the existence of holomorphic connections on a complex manifold. They are related with the construction of Rozansky-Witten invariants. Duflo isomorphisms, originally in the theory of Lie algebras and their representations, are further extended by Kontsevich in his deformation quantization theories, that the algebra of holomorphic polyvector fields are isomorphic to the Hochschild cohomology. In this project, we shall study Atiyah classes out of Lie pairs and their related Duflo- Kontsevich theories in a much wider range. In derived categories, we will establish the proper description of a certain universal enveloping algebra and the isomorphism theorem a la Duflo- Kontsevich. Moreover,incorporating with Poisson and generalized complex geometry, we shall apply these tools and results, and try to discover new problems emerging in this direction.

经典的Atiyah 同调类是复几何中刻画复流形上全纯联络存在性的一个同调类. 它与Rozansky-Witten不变量的构造有密切的联系.Duflo 同构最早出现在Lie代数及其表示论中,后来 Kontsevich 在他的形变量子化框架内，进一步发展了 Duflo同构定理, 即复流形上的全纯多重向量场代数同构于其Hochschild上同调环. 在本项目中，我们研究和发展Lie代数胚对上的Atiyah同调类，及其衍生的Duflo- Kontsevich理论. 在导出范畴中，我们将建立万有包络代数的构造以及相应的Duflo- Kontsevich同构定理, 并结合Poisson几何，广义复几何的特殊情形，应用这些工具和结果，进一步研究和发展该领域的新问题，新内容.

经典的ATIYAH同调类是复几何中刻画复流形上全纯联络存在性的一个同调类. 它与ROZANSKY-WITTEN不变量的构造有密切的联系. 在本项目中，我们 1）研究和发展LIE代数胚对(又称LIE偶)上的ATIYAH同调类，及其衍生的DUFLO- KONTSEVICH理论; 2）在导出范畴中，我们建立了万有包络代数的构造以及相应的DUFLO- KONTSEVICH同构定理; 3) 结合POISSON几何，广义复几何的特殊情形，应用这些工具和结果，进一步研究和发展了该领域的某些新问题，新内容;4）针对流形上的正则可积分布，证明了两种途径得到的ATIYAH 同调类，TODD同调类是完全等价的..这些研究成果整理成若干专题论文，均发表在国内外知名的学术期刊上，获得很好的反响和多次引用，也在国内外各种学术会议上进行报告和交流. 我们正在结合许多新的观察点和新的研究成果撰写论文.特别的，我们在新近兴起的微分分次几何(DG geometry)的研究领域，发现了其与非线性Lie理论，复几何，流形上的分布理论等其他领域有很多深刻的内蕴联系,启发我们继续发展和探索下去.