最小二乘逆时偏移及其L1正则化研究

Migration is a key technique in seismic exploration to image the interfaces of subsurface structures by moving recorded reflections to the place where reflections are generated. Conventional migration methods, including reverse-time migration (RTM) have two weaknesses: first, they use the adjoint of forward modeling operators which can only correctly calculate traveltime (phase) but not amplitude, and second, they usually apply crosscorrelation imaging conditions to extract images from reconstructed wavefields. This imaging condition is unable to resolve weak and uneven illumination problems and produce high resolution images. Least-squares migration (LSM) uses both inverse operators and deconvolution imaging conditions. As a result, LSM resolves both problems of conventional migration methods and produces images with fewer artefacts, higher resolution and more accurately amplitudes. At the same time, RTM can actually handle all dips, frequencies and any velocity variation. Combing RTM and LSM formulates least-squares RTM (LSRTM). To further improve the signal-to-noise ratio and the resolution of LSRTM images, L1 norm constraint can be added into LSRTM to achieve these goals with similar cost as LSRTM. In this way, the advantages of RTM, LSM and L1 regularization can be combined together to achieve the best depth migration image.

地震波偏移成像是地震勘探中最关键的技术之一。偏移是一种把检波器记录的反射波归位到其反射发生的位置，从而得到地下反射界面结构的地震成像核心技术。但是包括逆时偏移在内的传统偏移方法具有两个缺点： 首先其利用的是正演算子的伴随算子作为逆算子的近似，因此只能计算出正确的走时（相位）而不能获得正确的振幅；其次利用互相关作为成像条件使其不能解决弱照明、照明不均和分辨率低的问题。最小二乘偏移通过逆算子和反褶积成像条件给出更高的分辨率和更精确的振幅信息，并且能压制传统偏移方法产生的假象。同时逆时偏移可以处理任意倾角，任意频率和任意方向的速度变化的地震数据。结合最小二乘偏移和逆时偏移的最小二乘逆时偏移兼具其二者的优点。为了进一步提高最小二乘逆时偏移的成像分辨率，用L1范数约束最小二乘逆时偏移可以产生比最小二乘逆时偏移分辨率更高的深度偏移结果，并且其计算量与最小二乘逆时偏移相当。

逆时偏移是通过对地震波长进行反传来对地球内部复杂构造成像的有效手段，也可以将其描述为一个反问题。最小二乘逆时偏移试图通过最小化观测数据与模拟数据之间的残差来成像。最小二乘逆时偏移相对于传统的逆时偏移可以提高成像质量减小噪音，因为其使用了反算子而不是伴随算子。从数学上来说，最小二乘偏移其实很多情况下是在解一个欠定问题。从而也引起了两个问题：最小二乘偏移成像给出的分辨率不够高以及最小二乘偏移解中存在一些计算噪音。针对第一个问题我们提出了通过由反射系数像的L1范数定义的约束来对最小二乘逆时偏移进行模型约束，对于L1正则化的最小二乘逆时偏移，反问题可以用BPDN模型来描述，从而通过SPGL1算法来对其求解。在展示的三个示例中均表明我们的算法可以给出更少假象，更高分辨率，更少噪音的成像结果。针对第二个问题，当存在速度差异较大的界面或者地震数据中存在较强的散射能量时，传统的利用互相关丞相条件的最小二乘逆时偏移存在低频噪音，从而影响成像质量。我们提出了将逆散射成像条件与最小二乘逆时偏移相结合，模型测试表明这种算法可以压制成像中的低频噪音从而有效地求取反演中梯度，进而加速目标函数的收敛，改善成像质量。