等变高指标理论与Banach空间相关问题

In this project, we are going to use various tools in algebra, topology and analysis to study coarse geometric structures of discrete metric spaces and their application to the equivariant higher index theory. We plan to study the coarse Novikov conjecture for metric spaces which admit a fibred coarse embedding into Banach spaces with property H or uniform convex Banach spaces. Furthermore, we will also study the case concerning actions by some groups. To be more precise, we plan to study the equivariant coarse Novikov conjecture for spaces which admit a equivariant coarse embedding into Banach spaces or non-positively curved manifolds. These topics are of great interest at the forefront of current research worldwide in the aspect of operator algebra and noncommutative geometry.

我们将融合代数、拓扑和分析中的各种工具来研究离散度量空间的粗几何结构及其在等变高指标理论中的应用。我们将研究粗Novikov猜想关于具有有界几何的度量空间纤维化粗嵌入到具有性质H的Banach空间或者一致凸的Banach空间的情况。进一步，我们也计划研究有关群作用的情形。更具体地说，我们将研究等变的粗Novikov猜想关于度量空间能等变地粗嵌入到Banach空间或非正曲率流形的情况。这些研究内容是目前国际上算子代数与非交换几何前沿领域的热点问题。

算子代数和非交换几何在国际上一直是一个热门研究方向。我们主要研究了高指标理论与（纤维化）粗嵌入问题。在项目资助期间完成了以下结果：. 1. 粗Novikov猜测和（纤维化）粗嵌入问题.粗Novikov猜测在几何和拓扑上有很多应用, 且（纤维化）粗嵌入提供了很好的方法去研究该猜测。在本项目资助期间，取得了以下结果：.（1）对于具有有界几何的有限度量空间粗无交并，我们证明了如果它能纤维化粗 嵌入具有性质（H）的实Banach空间，那么它对应的粗Novikov猜测成立。.（2）我们研究了等变粗Novikov猜测，对于具有有界几何的度量空间，我们证明了如果它能等变粗嵌入具有性质（H）的实Banach空间，那么它对应的等变粗Novikov猜测成立。. 2. L^p-Roe 代数的拟局部刻画.Roe代数和一致Roe代数是一类重要的C^*代数，是联系几何，分析和拓扑的桥梁。.最近，Spakula和Tikuisis证明了一个关于Roe-代数的局部拟刻画。我们改进了他们的方法去处理L^p（p>=1）型Roe-代数. 当p=1时，由于L^1缺少自反性，我们需要更为精细构造和证明。最后我们给出了一个L^p-Roe 代数的拟局部刻画。. 3. 几何群论方面的研究. 两个有限生成群的圈积是一个有趣的研究对象。我们利用Fordham的技巧，找到任意一个有限生成群H和整数群Z的圈积群的词度量公式。. 4. Beurling 型定理方面的研究.著名的Beurling 定理分类Hardy空间上乘法算子的不变子空间。我们证明了对于一类由序列生成的再生核Hilbert空间上的单侧移位算子的Beurling型定理成立。我们把该结果推广到多维情形下，得到了类似的定理。作为推论，我们能得到一些在双圆盘Hardy空间上的应用。