多尺度演化系统的非线性波问题研究

By combining geometric singular perturbation theory and qualitative and bifurcation methods in ordinary differential equations, and fully utilizing the dynamical feature of the multi-scale flows, this project aims to study the existence, stability and bifurcations of nonlinear waves in several evolution systems with multiple scales, where we firstly set up the ideas and methods to explore the existence, stability and bifurcations of homoclinic and heteroclinic orbits with pulses for the associated higher-dimensional travelling systems. More precisely, . 1) Based on geometric singular perturbation theory and rotated vector fields, we will study the existence and stability of travelling fronts and travelling pulses with certain degenerancy through the detailed qualitative and bifurcation analysis on the slow and fast limiting systems, which are both lower-dimensional systems. . 2) Based on geometric singular perturbation theory and canard theory, we will study the existence of travelling fronts and shock fronts of canard type for the multi-scale evolution systems modelling tumour invations by carrying out the singularity analysis on the slow limiting system and setting up the possibility of connections between the fast fibers and the unstable manifolds of the folded saddle on the folded curve.. 3) By transforming the evolution systems with strong spatially localized heterogeneities to the evolution systems with multiple scales, we will study the existence, stability and bifurcations of non-monotonic fronts and travelling pulses in these heterogeneous systems through the detailed qualitative and bifurcation analysis on the slow and fast limiting systems, where the topological distributions of the fast and slow orbits are first given and then the possible connections between them are set up.

基于奇异摄动几何理论，结合常微分方程定性与分支方法，充分利用多尺度流的动力特性，本项目拟建立研究高维常微分系统脉冲同异宿轨道的存在性、稳定性和分支的思路与方法，并以此探讨若干多尺度演化系统非线性波的存在性、稳定性与分支。具体而言：.1)基于奇异摄动几何理论，结合旋转向量场，通过对较低维的快、慢极限系统的定性与分支分析，研究耦合FitzHugh-Nagumo方程波前解以及某些退化行波解的存在性与稳定性；.2)基于奇异摄动几何理论与鸭理论，通过对慢极限系统的奇异性分析，确定折曲线上折鞍点的不稳定流形与快纤连接的可能性，研究多尺度肿瘤入侵演化模型鸭型波前解与冲击波解的存在性；.3)将具有强空间局部异质性的演化系统转化为多尺度演化系统；同时分别对快、慢极限系统进行定性与分支分析，获得快慢轨道的拓扑分布并建立它们的匹配连接，研究上述具局部异质性的演化系统非单调波前解和脉冲解的存在性、稳定性和分支。

本项目研究由快慢扩散或异质性等所导致的多尺度反应-扩散系统单脉冲或多脉冲行波解、波前解与冲击波解的存在性、稳定性与分支问题。主要工作有：.（1）基于几何奇异摄动理论（GSPT)，提出了一种处理具有局部强异质性的反应-扩散系统非线性波存在性、稳定性和分支的几何方法。研究揭示：one-component线性反应-扩散方程，局部强异质性的扰动下可产生单脉冲和多脉冲波（pinned single pulse/multi-pulses wave solutions），但无法经Hopf分支产生振动波（pinned oscillatory waves）；但对于two-component线性反应-扩散方程，即使单个的局部强异质性的扰动，稳态波也可经Hopf分支产生振动波。.（2）基于GSPT，结合广义旋转向量场技巧和幂级数展开，发展了一种更为几何的方法，并用之研究一类耦合FitzHugh-Nagumo方程的travelling pulses的存在性及其渐近状态。研究揭示：与经典的FitzHugh-Nagumo方程不同，对于考虑耦合的FitzHugh-Nagumo方程，当参数a->0时，其非线性波无法产生振动的尾巴（oscillatory tail）；而对于经典的FitzHugh-Nagumo方程，已有的研究已发现当参数a->0时其非线性波带有振动的尾巴。同时，我们关于波前解和波后解横截性的证明方法区别于Jones等通常采用的微分-1形式的方法，是一种新的更为定性和几何的方法。.（3）基于GSPT，结合entry-exit函数, 研究了生物演化效应对于竞争-排斥原理的影响。我们在竞争捕食-食饵模型的基础上引入（慢）演化效应，得到一类具有三个快变量和一个慢变量的四维奇异摄动系统。若生物种群没有演化效应，根据竞争-排斥原理，弱势捕食者将灭绝。引入演化效应后发现：弱势捕食者可以存活，其共存的方式有两种：一种是收敛到正平衡点，另一种是松弛振动。导致松弛振动产生的机制是转向点的存在性（临界曲线在四维相空间自交而成）。本研究表明：一定程度上，演化效应可以使得生物种群不必服从竞争-排斥原理。.(4) 利用GSPT与鸭理论，通过捕捉折曲线上折鞍点和折结点的存在性、个数和分布, 研究了一类带有广义Allee效应的肿瘤入侵模型冲击波解的存在性问题，获得了冲击波解的存在性和渐近性质。