分支粒子占位时过程极限理论及相关问题

Branching particle system is a kind of models which are used widely. Up to now, the study on the theory of occupation time of branching particle systems has been mainly concentrated on the case where the branching laws are critical and spatially fixed, and there has been few work on the approximations of random fields by the occupation time processes. In this project, we will study two kinds of problems. One is to study the properties and the functional limit theorems of occupation time processes of critical and spatially inhomogeneous branching particle systems where the particle's branching law depends on its location. The purpose is to find the regularity of limiting processes and phases transition of the occupation time processes with respect to the branching laws. It can in some extent help us disclose the mechanism by which the branching laws affect the behaviors of occupation time processes, and enrich the existing theory of occupation times of branching particle systems. The other is to explore the approximations of anisotropic random fields by the occupation time processes and study properties of the limiting random fields. By using the spatial structure of occupation time processes, we will build some functional limit theorems in the cases of multi-parameters, and then study the representations and properties of the limiting random fields. The target is to search the relation between the branching particle systems and the random fields and to explore new methods for the study of the multi-index random phenomena. The distinguish features of the project are that we study the occupation time processes under the condition of spatially inhomogeneous branching which leads to new problems and new results, and that we deal with the occupation processes as the flows of random fields, which can provide us more visual explanation for the limiting random fields by particle pictures.

分支粒子系统是一类应用广泛的随机模型. 对这类模型占位时过程的研究目前主要集中在具有单一分支机制的临界情形, 而利用分支粒子占位时过程构造随机场的研究则在起步阶段. 为此，本项目拟研究两类问题. 一、研究分支机制与位置相关的非齐次临界分支粒子占位时过程性质与极限理论. 通过该研究发现极限过程与相变现象随分支机制变化的规律, 更深入地揭示分支机制对占位时性质与极限的影响, 丰富与完善空间分支过程占位时理论. 二、研究分支占位时过程构造随机场的理论和极限随机场性质. 利用占位时过程空间结构，建立若干多参数泛函极限定理. 以此为基础，研究极限随机场的表示与性质. 通过该研究探寻分支粒子模型与随机场的关联, 为研究多指标随机现象探索新方法. 项目研究特色体现在：在非齐次分支框架下研究占位时性质以及将占位时过程理解为随机场流; 前者要解决新问题探索新规律,后者为随机场模型提供直观粒子图像解释.

空间分枝过程是用来描述微观粒子动态变化规律的主要随机模型。本项目以空间分枝过程及相关模型的动态变化规律和极限性质为研究对象,意在探索这类过程对宏观复杂随机现象的解释能力,推进空间分枝过程领域的学术研究。项目主要研究内容和成果体现在：1)我们研究了一类空间非齐次分枝占位时过程的泛函极限定理,首次发现了空间分枝过程的一般动态变化规律与黎曼-刘维尔过程的紧密联系。这一发现不仅拓展了空间分枝过程可能的应用方向还对用分数阶随机积分方程刻画的随机过程给出了合理的微观解释。2)我们还充分利用空间非齐次分枝过程的多样性,分析了一类空间分枝过程的动态性质,我们探讨了粒子系统局部灭绝的参数边界,并发现在一定条件下低维空间粒子系统与高维空间粒子系统在时间维度上的累积效应体现出相同的的复杂性。这些工作为人们认识分枝粒子系统提供了新的视角。3)为了进一步推进空间分枝过程的相关研究,我们还研究分枝随机游动中随机游动达到最大值的规律。以达到最大值的次数(所谓记录数)为研究对象,分析了记录数的大偏差,中偏差等极限理论。这些成果有助于人们理解空间分枝模型中粒子聚集现象，也将为我们研究分支粒子模型开辟一类新问题。 我们的结果还表明在解决记录数的偏差问题时基于布朗运动的相关结果借助不变原理或强逼近定理逼近这种解决问题方法不是最有效的。这些发现有助于厘清人们在解决这类问题时在路线选择时的迷失。4)为了更深入地了解空间分枝过程在空间演化与分布上的规律,我们还分析了一些特殊空间运动过程的性质。研究了多罐子的Ehrenfest模型的首中时问题，通过巧妙地引入一类辅助过程，借助特征函数技巧刻画了这类模型的首中时分布。该成果为解决各类Ehrenfest模型的首中时问题提供了一个基本工具。总体而言,本项目进展较为顺利, 项目研究的学术目标已基本达到，对项目申请书中提到的科学问题，我们都获得了一定程度的解答。