分数阶微分变分不等式理论及应用

The main purpose of this project is to study the theories and algorithms with applications for some fractional differential variational inequalities in finite (infinite) dimensional spaces. We will study the following problems: (1) to discuss the existence, uniqueness, well-poseness and stability of the solutions for some fractional differential variational inequalities under suitable conditions; (2) to show some properties of the set of solutions concerned with some impulsive fractional differential variational inequalities; (3) to study the solvability for some stochastic fractional differential variational inequalities and impulsive stochastic fractional differential variational inequalities; (4) to construct some algorithms for approximating the (stochastic) fractional differential variational inequalities, obtain the convergence results of the algorithms and give some numerical results; (5) to show some applications to the dynamic problems with memories in dynamic networks, cellular neural networks and batch fermentation and get some equivalence results among them. The study of the problems mentioned above is very important for the science and technology as well as for the development of the theories, methods, techniques and algorithms of the fractional differential variational inequalities.

本项目主要研究有限（无限）维空间中分数阶微分变分不等式问题的理论、算法及应用。 探讨分数阶微分变分不等式问题解的存在性、唯一性、适定性和稳定性条件； 研究脉冲型分数阶微分变分不等式问题的可解性，刻画解集的性质，获得解集的稳定性结果；建立随机分数阶微分变分不等式和脉冲型随机分数阶微分变分不等式的可解性结果，给出解的唯一性、适定性和稳定性结果；构造逼近确定性和不确定性环境下分数阶微分变分不等式和脉冲型分数阶微分变分不等式解的有效算法，分析算法的收敛性并给出数值分析结果；作为应用，建立动态网络、细胞神经网络和发酵动力学等领域中一些具有时间记忆性的动态问题与分数阶微分变分不等式的等价性，揭示这些动态问题的变化规律。上述问题的研究不仅可以丰富和发展分数阶可微变分不等式的理论、方法、技巧和算法，而且可以用于解决产生于科学研究和工程技术中的大量现实问题，对学科和社会经济发展都有重要的意义。

分数阶微分变分不等式是一个涉及分数阶微分方程和变分不等式的非线性动态系统，可以用于刻画产生于现实世界的大量时间依赖的实际问题，具有重要的理论意义和应用背景。本项目主要围绕分数阶微分变分不等式问题的理论、逼近算法及应用进行了较为系统和深入的研究，获得了如下重要的结果：1. 研究了具有Clarke次微分的分数阶时滞发展包含的控制系统和半线性非局部分数阶发展包含的控制系统，获得了这些问题的可解性和解集的性质刻画结果，为分数阶微分变分不等式及相关问题的研究提供新的方法。2. 研究了Banach空间中一类新的分数阶拟半变分不等式问题，获得了解的存在性、唯一性及稳定性结果。作为应用，研究了一类新的具有磨损的分数阶弹性接触问题解的存在性、唯一性和稳定性。3. 研究了Banach空间中一类新的分数阶非线性发展型时滞半变分不等式问题，获得了由半变分诱导的集值映像的上半连续性和可测性。利用凝聚映像的不动点定理，证明了该类新的分数阶非线性发展型时滞半变分不等式问题温和解集的非空性和紧性。4. 研究了分数阶模糊广义投影动力系统和分数阶区间投影动力系统， 证明了开形式下分数阶模糊广义投影动力系统和分数阶区间投影动力系统解的存在性以及闭形式下分数阶模糊广义投影动力系统解的存在性，获得了全局分数阶区间投影动力系统的M-L 稳定性结果。构造了逼近分数阶微分变分不等式（包含）及相关微分变分不等式问题解的Eular逼近算法，在恰当条件下证明了算法的收敛性。 5. 建立了整数指数的 epsilon-分数 Wishart 过程，利用控制 epsilon- 分数 Wishart 过程的随机偏微分方程将其推广到非整数指数的epsilon- 分数 Wishart 过程和六参数的 epsilon-分数 Wishart 过程。6. 利用随机微分方程理论，研究了随机金融资产定价问题， 获得了金融市场中关于外汇期权定价以及具有随机流动性风险的方差互换、波动率互换定价问题的新结果。上述问题的研究所得结果，丰富和发展了分数阶微分变分不等式的理论、方法和算法，可以用于解决产生于科学和工程中的大量实际问题，有广泛的应用前景。