一类模糊分数阶微分变分不等式的解集性质、算法及应用研究

The main purpose of this project is to study a class of fuzzy fractional differential variational inequalities, which is a fuzzy system composed of a fuzzy fractional differential inclusion and a variational inequality. By using the idea of fuzzy analysis and set-valued analysis and some basic tools from measurable selection theorem and fixed point theorem of set-valued mapping, combining the theories, methods and skills of variational inequalities, differential variational inequalities and fuzzy fractional differential inclusions, we will study the existence and stability of the solution. Moreover, we will consider the approximation algorithm and study the convergence analysis. In addition, we will apply the conclusions to analyze microbial fermentation processes under uncertain environment. The results of this project not only enrich and develop the theory of differential variational inequalities and fuzzy fractional differential inclusions, but also provide useful tools to study some problems in reality.

本项目主要研究一类模糊分数阶微分变分不等式问题，它是由模糊分数阶微分包含和变分不等式构成的模糊系统。基于模糊分析和集值分析的思想，利用可测选择定理和集值映射的不动点定理等研究工具，结合变分不等式、微分变分不等式和模糊分数阶微分包含的理论、方法和技巧，研究该类问题解的存在性和稳定性，构造逼近解的数值算法、分析算法的收敛性，并将这些研究结果用于分析不确定环境下微生物发酵过程。本项目的研究不仅可以丰富和发展微分变分不等式和模糊分数阶微分包含的相关理论和算法，还可以为一些实际问题的研究提供有力的工具。

为研究不确定环境下微生物发酵问题，我们引入了一类模糊分数阶微分变分不等式问题，该问题为模糊分数阶微分包含和动态变分不等式研究提供了一个统一的框架，获得如下新的研究结果：(i)获得了这类问题解的存在性结果，构造了逼近这类问题的数值算法并给出数值算例，(ii)当模糊分数阶微分变分不等式中动态变分不等式约束集和映射分别受不同参数扰动时，证明了扰动问题的解集映射是闭的、上半连续的，(iii)在一些新的条件下证明了模糊分数阶微分变分不等式问题解的另一个新存在性结果，并进一步证明了状态轨迹的解集是紧的并且关于初值是连续依赖的。另一方面，为研究具有时间滞后现象的不确定环境下微生物发酵新问题，我们引入了一类分数阶时滞微分模糊变分不等式问题，该问题为分数阶时滞微分方程和动态模糊变分不等式研究提供了一个统一的框架，获得了这类问题解的存在性结果，同时构造了逼近这类问题的数值算法并给出数值算例。上述研究成果不仅丰富和发展了微分变分不等式、模糊分数阶微分包含、分数阶时滞微分方程和模糊变分不等式的理论、方法和技巧，还可以为不确定环境下微生物发酵问题提供有力工具。