高维自相似集的Lipschitz等价性及相关问题

The contents of this project includes: .(1). Lipschitz equivalence and topological structure of connected self-similar sets in higher dimensional case. For given connected fractal squares and general connected self-similar sets, we want characterize their topological properties, including the existence of global cut points, the position of local cut points and cut index. Then we want to study the Lipschitz equivalence by using these properties. .(2). For connected fractal squares and general connected self-similar sets which are topologically equivalent, we want study their Lipschitz equivalence by using quasi-symmetrical equivalence, topological Hausdorff dimension and other possible methods..(3). For non-connected self-similar sets with nontrivial connected components, we want to study their gap sequence and other Lipschitz invariants. In particular, we expect to find and characterize fractal squares with same Hausdorff dimension while their gap sequence is not equivalent..(4). Lipschitz equivalence of self-affine sets and Julia sets. In the study of above problems, many methods are topological. We expect to apply these methods to the study of self-affine sets including McMullen sets and of Julia sets.

本项目的研究内容主要包括：.(1)、高维连通自相似集的拓扑结构和Lipschitz等价性。对于给定的连通分形方块以及更一般的连通自相似集，分析它们的拓扑性质，包括全局分割点的存在性、局部分割点的位置、分割指标等，并由此进行Lipschitz等价性的研究。.(2)、利用拟对称等价、拓扑Hausdorff维数等方法，研究拓扑等价的连通分形方块以及更一般的连通自相似集的Lipschitz等价性。.(3)、对具有非平凡连通分支的不连通分形方块，研究它们的间隙序列和其它Lipschitz不变量，由此研究它们的Lipschitz等价性。特别地，我们期望找到Hausdorff维数相等但间隙序列不等价的分形方块，并且刻画它们的特征。.(4)、自仿集和Julia集的Lipschitz等价性及相关问题。在上述问题的研究中，很多方法是拓扑的，我们将把它们应用于包括McMullen集在内的自仿集以及Julia集。

在分形几何中，借助Lipschitz等价性对分形集进行分类是一个重要的研究方向。近年来，有很多关于分形集的Lipschitz等价性的工作。不过这些工作较少涉及高维的连通自相似集，究其原因，主要是由于它们的拓扑结构非常复杂。在以上背景下，本项目期望对高维的自相似集的拓扑结构及Lipschitz等价性进行研究。作为最典型的高维自相似集，分形方块（也称为广义Sierpinski地毯），是我们的研究重点。. 以下是本项目取得的主要结果：(1)、给出了平面紧集存在核心分解的充分条件；(2)、完整刻画了分形方块全局割点以及局部割点的存在性；(3)、完整刻画了分形方块以及McMullen集的间隙序列，找到了具有相同Hausdorff维数但间隙序列不等价的McMullen集，并由此讨论了McMullen集的Lipschitz等价性；(4)、研究了分形方块的拓扑Hausdorff维数，证明了分形方块具有相同Hausdorff维数与拓扑Hausdorff维数当且仅当它或者是单位正方形的两条对角线之一，或者是[0,1]与自相似集的笛卡尔乘积；并且将这个结果推广到McMullen集；(5)、完整刻画了分形方块具有有限个连通分支的充要条件；(6)、借助于多项式不可约理论，给出了以下两个似尘自相似集Lipschitz等价的判别方法：其中一个由两个分支组成，另一个由三个分支组成。. 此外，我们构造了更一般的分形插值函数与分形插值曲面，并计算它们的盒维数；也研究了广义Sierpinski垫片上的测地度量，证明了知名数学家Kigami教授的一个猜测。. 通过以上研究，对于分形方块及更一般分形集的拓扑结构及Lipschitz等价性有了更深入的认识，也为这方面的问题提供了新的研究方法和研究思路；所构造的分形插值函数及分形插值曲面，具有更一般的适用性，为这方面的应用提供了很好的理论基础。