沉降过程的高效数值算法研究

Precipitation processes are modeled by population balance systems consisting of equations describing the flow field, equations for the chemical reaction and an equation for the particle size distribution. The main difficulties for simulating the precipitation processes include the coupling of these equations, the solving of the time dependent convection-dominated convection-diffusion-reaction equations and the high dimensional property of the particle size distribution equation, which make the numerical simulation for the precipitation processes a challenging task. In this project, we will do some research on the core problems mentioned above. To be specific, we will study the stabilized finite element methods for the time dependent convection-dominated convection-diffusion-reaction equations on anisotropic meshes, design the parallel algorithms based on operator-splitting method and the method of characteristics for the particle size distribution equation, make finer mathematical analysis for the aggregation and breakage of particles via the theory of stochastic process and then insert it into the numerical solving process for the particle size distribution equation, and finally design the full numerical algorithm for the precipitation processes.

沉降过程通常由群体平衡方程来描述，它包括流体的方程、化学反应方程及粒子尺寸分布方程。各个方程之间的高度耦合、时间相关对流占优对流-扩散-反应方程的求解及粒子尺寸分布方程的高维特点等困难使得设计相关数值算法面临巨大挑战。本项目拟研究其中的核心问题，以期在沉降过程的数值模拟方面取得突破。具体来说，本项目将研究各向异性网格条件下时间相关对流占优对流-扩散-反应方程的稳定化有限元方法；对粒子尺寸分布方程设计基于算子分裂方法和特征线方法的并行算法；结合随机过程理论，对粒子破裂和聚并过程做更精细的数学分析并将其耦合于粒子尺寸分布方程的数值求解过程中；最终对沉降过程设计完整的数值算法。

沉降过程通常由群体平衡系统来描述，它包括流体的方程、化学反应方程及粒子尺寸分布方程。各个方程之间的高度耦合、时间相关对流-扩散-反应方程的求解以及粒子尺寸分布方程的高维特点等困难使得设计相关数值算法面临巨大挑战。本项目研究了其中的核心问题，主要内容如下：1、建立了求解群体平衡系统中各方程的移动网格算法。比如，对于对流占优的对流扩散方程，我们结合稳定化策略和移动网格方法，从而提高了算法的精度和稳定性，对于扩散系数达到10-8的二维对流扩散方程可得到较好的结果，此类结果在已有的文献中较为少见。2、研究了PSD方程基于特征线方法的并行策略。利用算子分裂方法将时间-内部坐标与空间坐标进行坐标分离，再利用特征线方法离散时间-内部坐标部分。其中，空间离散采用稳定化有限元方法，时间离散上采用Crank-Nicolson格式。因为沉淀颗粒主要分布在直径较小的一边，并且会出现大的跳跃，所以对内部坐标区间进行非等距剖分，即在内部坐标越小的地方网格越密。同时，数值模拟了在方形空腔中碳酸钙的化学反应沉降过程，分析了两个流入口分别处于不同位置时，流场、反应物以及流出口处颗粒尺寸分布函数的相应情况，定性地给出最合适的流入口的位置。3、采用基于数值积分的矩方法来离散PSD方程。此方法将PSD方程乘以相应的多项式后再在状态空间上积分，得到PSD函数各阶矩满足的方程,再利用高斯型数值积分将其离散。此方法相比直接数值分析方法，大大降低了计算量。4、研究了基于SDC方法的时间并行算法，这种方法结合了显式SDC（串行）和隐式SDC方法（并行）。已有的方法在补偿过程中采用直接近似，我们对这一点做了改进，将残量满足的方程写出来后再用显式方法求解，从而大大提高了方法的绝对稳定区域，得到的新方法有更好的扩展性。此结果对于时间相关问题非常有意义，能够突破时间方向上计算速度过慢的瓶颈。