构造性分拆理论研究

Our objective is to study applications of constructive method in the theory of partitions. Professor George Andrews, who is the master of algebraic combinatorics and an elected member of American Academy of Arts and Sciences, directs the developments of the theory of partitions. The theory of partitions has a strong background on mathematical physics, and is one of the most active fields in combinatorics. We have made important achievements in constructive proofs of partitions identities involving partial theta functions and mock theta functions, which lays a strong basis for further study... We will construct partition bijections and involutions using the methods and techniques of combinatorics, in order to give combinatorial proofs of some important partitions identities and q-series identities, such as a more general identity of Andrews' partial theta identity, identities concerning the sum or difference of two partial theta functions, identities involving mock theta functions and subpartitions identities, and then solve some open problems... Research findings of the proposal will help to strengthen the understanding of partitions and q-identities, and provide more theoretical supports for applications of the theory of partitions in q-series, combinatorics, number theory and physics.

本项目旨在研究构造性方法在分拆理论中的应用。该理论由当代组合数学权威、美国科学院院士George Andrews教授引领，有着很强的数学物理背景，是当代组合学研究的前沿课题之一。同时，在涉及partial theta函数和mock theta函数分拆等式的构造性证明方面我们已经取得重要进展，为继续研究奠定了基础。.. 项目将利用组合数学的方法和技巧来构造分拆双射和对合，给出一些著名分拆等式和q-级数等式的组合证明，如：Andrews’ partial theta等式的更一般推广等式，关于两个partial theta函数和与差等式，涉及mock theta函数的等式和子分拆等式，并解决一些公开问题。.. 本项目的研究成果将有助于加深对分拆等式和q-级数等式的理解，为分拆理论在q-级数、组合数学、数论和物理学等领域的应用提供更多的理论支持。

按照项目计划，我们对组合数学的方法和技巧在分拆恒等式和q-级数等式的构造性证明、组合序列的对数凹性、模形式，以及分拆函数同余性质进行了研究，取得了多项重要成果，共发表或接受发表论文2篇，在投稿论文2篇，并参加国内学术会议一次。.. 在构造性证明方面，我们仔细研究了partial theta函数和mock theta函数等式的组合证明，认真学习了季青、B. Kim和J.S. Kim于2015年发表于《Int. J. Number Theory》的文章“Combinatorial proof of a partial theta function identity of Warnaar”， 她们构造性证明了涉及partial theta函数的Warnaar等式。.. 在组合序列的对数凹性方面，我们利用科恩序列前后项比率的上界和下界，证明了科恩序列的对数凹性，相关结果接受发表于《J. Ineq. Appl.》。审稿人评价为“The method presented in the paper, seem to be a quite powerful tool.… It has the potential to spark further research”。.. 在模形式理论研究方面，我们利用theta函数等式，推广了Williams的关于eta商部分傅里叶系数为零的结果，相关结果接受发表于《Ramanujan J.》。审稿人认为我们的结果是“a nice result”，证明过程“very elegant”。.. 在分拆函数同余性质方面，我们利用模形式、Ramanujan theta函数等式和组合方法的工具，证明了断裂5-钻石分拆函数模11的同余性质和偶部分互不相同的双分拆函数模16、32、64的同余性质。