带约束的正整数有序分拆研究

A composition of positive integer n is a sequence of positive integer that sum to n. Restricted compositions of positive integer is an important topic for study in combinatorial mathematic and number theory in the last twenty years. This project is devoted to some restricted compositions of positive integer use theory and knowledge of generating function and some classical sequences that is the Fibinacci, the Lucas and so on. We research interests include the number of positive integer compositions, property for the number of positive integer compositions, identity of positive integer compositions and combinatorial model of positive integer compositions. We will explore enumeration formula, generating function and combinatorial property of the number of restricted compositions of positive integer. We also research some identity about compositions of positive integer. Further, we will establish some combinatorial bijection between different classification of compositions of positive integer. And we shall give some combinatorial proofs of classical identity of partitions. In addition, we use graphs and symbols representation of positive integer composition to study combinatorial property of compositions of positive integer. Our other goal is to apply compositions of positive integer in graph theory , biochemistry and other disciplines through exploring combinatorial model of compositions of positive integer. Research work of this project will constantly enrich the theory of positive integer compositions in both theory and application.

正整数n的有序分拆是指把n表示成正整数的序列和。带约束的正整数有序分拆是最近二十年来组合数学、数论研究的一个重要课题。本项目利用生成函数的理论和知识、经典数列（如Fibonacci数列、Lucas数列等）知识等对正整数的一些带约束条件的有序分拆在分拆计数、分拆数性质、分拆恒等式、组合模型等方面进行研究，探索正整数的一些带约束的有序分拆数的计数公式、生成函数、组合性质；寻找涉及正整数有序分拆的分拆恒等式。在正整数的不同类型的有序分拆之间建立组合双射，或给出一些经典分拆恒等式的组合证明。利用正整数有序分拆的图形或符号表示，探讨正整数有序分拆的组合性质。通过探讨带约束的正整数有序分拆的组合模型，尽可能地将正整数有序分拆应用到图论、生物化学等其他学科。本项目研究将从理论和应用上不断丰富正整数的有序分拆理论。

带约束的正整数有序分拆是近二十年来组合数学、数论研究的一个重要课题。项目研究了奇数 的分部量是奇数、分部量不含2、分部量不超过给定的正整数 的Inverse-conjugate 有序分拆；研究了正整数的分部量不超过3、分部是奇数的n-color有序分拆；分部量不含有给定正整数 的一些有序分拆等。得到了这些有序分拆在分拆数计数、分拆性质、分拆恒等式等方面结果。. 研究了正整数的n-color有序分拆数、自反的n-color有序分拆数、分部量不含正整数 的自反有序分拆数、分部量不超过3的Inverse-conjugate有序分拆数与Fibonacci 数、 Lucas 数之间的关系，得到了一些列涉及这些有序分拆与1-2有序分拆、分部量大于1的有序分拆、分部量是奇数的有序分拆之间的分拆恒等式。. 同时，研究了与正整数n的1-2有序分拆、自反的有序分拆、不含分部量2的有序分拆以及与有序分拆的分部量1相关In-place恒等式。. 利用有序分拆的Zig-Zag图以及共轭分拆建立了正整数的不同有序分拆之间的组合双射。并且给出了正整数有序分拆的一些分拆恒等式及计数结果的组合双射证明。. 此外，在图论中探讨正整数的有序分拆的组合模型时，还得到了图的电阻距离和基尔霍夫指数方面的一些结果。项目研究从理论上进一步丰富了正整数的有序分拆理论。. 在项目的资助下，共发表科研论文19篇，其中SCI论文2篇，EI论文1篇，国际期刊论文3篇，CSCD期刊论文10篇。录用待刊的SCI论文1篇，国际期刊论文1篇。. 指导本科生完成毕业论文84人，学年论文110人；指导学生参加学科竞赛获得三等及以上奖项9项。