一些趋化-扩散-对流耦合系统的适定性和非线性动力学性态

This project is concerned with well-posedness and nonlinear dynamical behaviors of some chemotaxis-diffusion-convection coupled models. These models are quasilinear full parabolic systems or parabolic-elliptic-ODE coupled systems arising from microbiology, cell biology, immunology, etc. In recent years, it is the key subject of the research contents of PDE and nonlinear dynamics to study solvability and dynamical behaviors to these models. The first main purpose of this project is to investigate global existence vs blow-up of time-varying solutions, and the asymptotic stability of spatially homogeneous equilibria for the chemotaxis-diffusion-convection models by using entropy inequalities and comparison inequalities, energy estimates and iterative technique, operator semigroup theory, etc. The second main purpose is to study the existence, stability and Turing instability of temporal, spatial and spatiotemporal patterns, and the quantitative characterization of nonlinear evolution for the pattern formations by applying two- or multi-parameter bifurcation method, the center manifold and normal form theory, the Guo-Strauss’ bootstrap technique and the higher-order energy estimates. Finally, through both theoretical analysis and numerical simulations we shall describe the effects of growth, diffusion, chemotaxis and convection on the dynamics of quasilinear reaction-diffusion models in detail, and give the mathematical explanation for some corresponding practical phenomena and predict the development in the future.

本项目研究一些趋化-扩散-对流系统的适定性和非线性动力学性态. 这些模型是源自微生物学、细胞生物学、免疫学等学科的拟线性抛物系统或抛物-椭圆-常微分方程耦合系统. 这些模型的可解性问题和动力学性态是近年来偏微分方程理论和非线性动力学的重要研究课题. 本项目的第一个主要目的是应用熵不等式或比较不等式、能量估计与迭代技巧、算子半群理论等探讨趋化-扩散-对流模型时变解的整体存在性或爆破性以及齐次平衡态的渐近性. 第二个主要目的是研究趋化-扩散-对流模型的斑图动力学，包括时间、空间和时空斑图的存在性、稳定性以及斑图生成模式非线性演化的定量刻画. 主要采用双或多参数分支方法、中心流形及规范型理论、Guo-Strauss靴带技巧和高阶能量估计. 最后，我们将通过理论分析和数值模拟细致地描述增长、扩散、趋化和对流项对拟线性反应扩散模型动力学性质的影响，对相应的一些实际现象给出数学解释并预测其发展趋势.

本项目研究一些趋化-扩散-对流系统的适定性和非线性动力学性态，完成了项目申请时的研究计划，主要工作如下：(1) 应用热算子半群理论、先验估计、比较方法和Lyapunov方法研究了多发性硬化症和同心圆硬化症趋化模型唯一古典解的一致有界性、整体存在性和正平衡点的指数渐近稳定性。该模型由刻画激活的巨噬细胞密度演化的拟线性抛物的趋化方程、描述细胞因子化学信号物浓度的半线性抛物型方程和一个表示少突胶质细胞的本性密度的ODE方程组成。我们应用热算子半群理论、椭圆和抛物方程的正则性理论，通过细致的能量估计建立了该模型古典时变解的一致有界性，并应用Lyapunov方法得当了小趋化比率下正平衡点的指数渐近稳定性。从硬化症的病理学角度来看：当趋化作用弱时，损坏的少突胶质细胞会形成均匀的斑块。(2) 提出并研究了一类含单趋化物的两种群捕食者-食饵趋化模型。基于捕食者和食饵种群的L2范数和信号梯度的L4范数的一致有界性估计证明了该模型在2、3维空间中古典解的整体存在性和一致有界性, 通过构造Lyapunov函数给出了常数平衡态全局指数渐近稳定的判据，分析了趋化诱导的空间斑图的存在性和稳定性。(3) 研究了一些食饵趋向的捕食者-食饵模型的非常数正平衡态的存在性和稳定性，以食饵趋向率为分支参数，细致刻画了非常数平衡态的全局分支结构，并发现吸引性食饵趋向可以稳定化该模型的平衡点，即使在自扩散导致的不稳定性发生的情形下。(4) 研究了一些半线性反应扩散模型（如3级营养食物链模型、带捕获项的比率依赖捕食者-食饵模型、合作狩猎的捕食者-食饵模型等）的动力学性态。着重讨论了时间斑图、空间斑图和时空斑图的存在性、方向与稳定性，通过数值模拟揭示其动力学复杂性，如周期振动现象，以及条纹状、洞状、条纹-斑点状和条纹-洞状等形态的Turing斑图。这些研究成果汇总在已发表的16篇论文和2篇博士学位论文中。