退缩和不退缩型强耦合交错扩散模型解的整体性态

本项目主要研究一些强耦合交错扩散模型解的整体性态，这些模型是源自生物群体动力学和肿瘤增长问题的退缩或不退缩型的拟线性抛物方程组,它们虽然有重要的应用背景，却很少有已知的数学分析结果.本项目着重讨论这些模型解的长时间性态与Turing斑图现象；给出其弱解或强解的数值例子；探讨退缩性、交错扩散和功能反应函数对模型解的定性性质的影响.上述模型整体解的存在性拟用能量估计方法和比较方法讨论；非常数正平衡解的存在性拟用拓扑度理论与分支方法讨论；获得解的一致收敛性或平衡解稳定性的主要途径是构造Lyapunov函数；数值例子将由半离散化方法或有限元法给出，前者的工作空间是Orlicz空间.期望所得结果能够解答实际问题，为相应学科提供理论依据和数值范例，并能够部分地回答Yamada关于SKT模型的四个公开问题.

本项目主要工作如下：(1) 对于带阶段结构的Shigesada-Kawasaki-Teramoto型Lotka-Volterra 系统, 线性自扩散不会导致Turing不稳定性. 在一维空间中，如果扩散矩阵正定，则该系统是耗散的，且在线性自扩散率充分大时不会因交错扩散产生斑图. 在空间维数小于10时，该系统存在唯一的正古典解. 如果把SKT型交错扩散项替换为另外的、适当的非线性形式，则可因交错扩散产生非常数正平衡态. (2) 对于带性别结构的捕食者-食饵模型, 虽然反应-自扩散系统的一致平衡态是稳定的，空间斑图却可因线性交错扩散发生. (3) 对于带阶段结构的捕食者-食饵自食模型，如果没有交错扩散项，则自食率的稳定化或不稳定化作用强烈地依赖于反应函数. 当交错扩散项被自然地引进后，自食率便失去了它的稳定性机制，交错扩散变成了不稳定作用的决定性因子. (4) 对于带逻辑型源项的Keller-Segel模型，不稳定一致平衡态的一般初始扰动的非线性演化是由相应的线性化方程的最快增长模式所控制的. 该结果是对趋化-扩散-增长模型斑图早期生成的一种定量刻画.