量子一般线性 Lie 超代数的结构和模表示理论

This program is about the study of the structures and representation theory of the quantum general linear Lie superalgebras. It consists of three parts. In the first part, we shall consider about the irreducible representations of quantum general linear Lie superalgebras at non-generic roots of unity. Every irreducible module is the irreducible quotient of some Kac module. We shall study the structures of Kac modules, then figure out their maximal submodules, and subsequently apply the representation theory of quantum general linear Lie superalgebras to determine the index set of isomorphic irreducible polynomial modules. In the second part, we shall consider the canonical bases of quantum general linear Lie superalgebras. We shall find out the relationship between the bases of the irreducible representations and the canonical bases, specially between the bases of the irreducible polynomial representations and the canonical bases. Our aim is to construct canonical bases of quantum general linear Lie superalgebras which can reflect the structures of their irreducible representations. In the last part, we shall work on the categorification of the positive (negative) parts of quantum general linear Lie superalgebras. Through comparing with the procedures of the realization and categorification of the quantum general linear Lie algebra, we are going to realize the positive (negative) parts of quantum general linear Lie superalgebras as the Grothendieck groups of some algebras.

本项目主要研究量子一般线性Lie超代数的结构及其表示理论。整个课题共分为三部分，第一部分研究在量子参数是非平凡单位根时，量子一般线性Lie 超代数的不可约多项式表示，通过研究Kac模的结构，确定它们的极大子模，根据不可约多项式表示的权集的特点，给出该条件下量子一般线性Lie 超代数的不可约多项式表示的指标集；第二部分研究量子一般线性Lie 超代数的正部分的典范基，研究它们同量子一般线性Lie 超代数的不可约表示的联系，尤其是跟不可约多项式表示的基的联系，构造能更好地刻画量子一般线性Lie 超代数的不可约表示的典范基；第三部分研究量子一般线性Lie 超代数的正（负）部分的范畴化，通过与非超情形量子一般线性Lie 代数的实现和范畴化过程的比较，将量子一般线性Lie 超代数的正（负）部分实现为某个代数的表示范畴的Grothendieck 群。

在本项目中我们分别研究了量子一般线性Lie超代数 Uq(glm|n) 的模表示、典范基及与其相关的有限维超代数。. 基于特征零的代数闭域上q-Schur 超代数在单位根处的不可约表示分类，我们得到了特征p>2的代数闭域上q-Schur超代数S_k(m|n,r)在单位根处的不可约表示分类，其中m+n≥r， 同时 这也是量子一般线性Lie超代数Uq(glm|n) 的模表示中的某些不可约多项式表示分类。. 根据Uq(glm|n)的典范基的理论刻画，我们将Uq(gl3|1)的正部分的典范基详细的写成了与其相关的PBW基的线性组合。. 通过量子一般线性Lie超代数的单项式基，我们给出了q-Schur 超代数的一组单项式基，同时与非超情形相似，我们定义了无穷小q-Schur超代数和小q-Schur超代数，并且给出了它们的BLM基和单项式基，以及这两个代数的维数公式。. 我们研究了对称群的某些双陪集的乘法，并得到了q-Schur 超代数的一些乘法公式，这些乘法公式曾是Uq(glm|n)实现过程中的重要公式，利用这些公式，我们直接定义了无穷小q-Schur超代数和小q-Schur超代数，并且还得到了q-Schur超代数、无穷小q-Schur超代数和小q-Schur超代数半单性的判定准则。.通过总结我们对q-Schur超代数的相关研究成果，完成了论文《q-Schur 超代数》。