随机向量变分不等式问题的解及其收敛性分析

Stochasticity is unavoidable in practical problems, and the decision can be inferior or even misleading if we ignore this factor. Considering the extensive applications of the vector variational inequality problems in practice, this project mainly aims at to analyze the solutions and related convergence properties for the stochastic vector variational inequality problems. Firstly, in order to transform the stochastic vector variational inequality problem into a deterministic problem, we will construct some residual functions based on statistical methods such as least absolute deviation, least squares and mode approaches, and then investigate the corresponding solutions via sample approximation method. Secondly, with the aid of conditional value at risk procedure, we transform the stochastic vector variational inequality problem into a value at risk constraint optimization problem, and also study the related solutions via sample approximation method. Finally, by combing the central limit theorem and the law of large numbers, we will do some analysis on the convergence properties and convergence rates of the solutions of stochastic vector variational inequality problems, and then examine the effectiveness of the new methods through some numerical simulations. The research of this project is not only an important inheritance and development of stochastic optimization theory, but also can be widely applied to the areas like economics, engineering design and transportation, for instance. Therefore, it is of great worth in theory and practice.

随机性是实际问题中不可避免的因素，忽略了随机性，将会造成低级甚至错误的决定。鉴于向量变分不等式问题在现实生活中的广泛应用，本项目主要研究随机向量变分不等式问题的解及其收敛性分析。首先，基于最小一乘、最小二乘和纵数等统计方法，建立残差函数，从而把随机向量变分不等式问题转化为确定性问题，并借助样本均值逼近方法，研究随机向量变分不等式问题的解；其次，借助条件风险约束方法，把随机向量变分不等式问题转化为风险测度约束优化问题，进而采用样本均值逼近技巧，研究随机向量变分不等式问题的解；最后，结合中心极限定理和大数定律，研究随机向量变分不等式问题解的收敛性和收敛率，同时通过数值模拟验证新方法的有效性。本项目的研究不仅是随机优化理论的重要继承和发展，而且能够广泛应用到经济学、工程设计和交通运输等领域，因此具有十分重要的理论和应用前景。

现实生活中绝大部分优化问题，如财务策划问题、飞机航线调度问题、电力系统的机组组合问题等等，由于噪声系数、摩擦系数或者制造误差等不可控因素的存在，所涉及的数据通常都具有不确定性(随机性)，忽略随机性可能会造成低级甚至错误的决定。因此，研究带有随机因素的优化问题是非常有意义和必要的。本项目主要借助极大极小原理和众数思想，建立残差函数，进而利用样本逼近方法研究了两类具体的非线性模型，证明了所得解的理论性质，并通过蒙特卡洛模拟和实例分析验证了新方法的良好表现效果。新方法在经济学、工程设计和交通运输等领域具有重要的应用前景。.具体地，针对同时带有线性和非线性结构的目标模型，我们基于局部多项式逼近和极大极小原理构造出一个残差函数，进而给出相应的样本形式。鉴于线性和非线性未知向量具有不同的收敛速率，我们通过迭代优化一个加权型复合分位数目标函数，最终得到线性和非线性未知向量的数值解。此外，针对非线性单指标结构的目标模型，我们结合局部多项式逼近、外积梯度法和众数思想，构造出一个残差函数并给出相应的样本形式，同时提出一个修正的EM优化算法解决了目标函数的数值求解问题。在常规假设条件下，如未知函数的可微性、支撑集的紧性以及随机误差项分布的Lipschitz连续性等，我们推导了两种方法解的收敛速率、渐近偏差以及渐近方差等大样本性质，同时分析了新方法相对已有方法的渐近相对效率。大量蒙特卡罗模拟和多个实例分析的结果验证了新方法良好的表现效果。