Hamilton系统周期运动轨道的研究

本课题涉及动力系统、微分几何和数学物理等多个学科，以 Hamilton 系统与N体问题为主要研究对象。课题目标是研究Hamilton 系统与天体力学领域国际数学界长期以来十分关注的关于周期解轨道的一些基本问题，特别主要包括以下问题: 紧流形上的闭测地线的多重性与稳定性问题；2n维欧氏空间中的超曲面上闭特征的多重性与稳定性问题；完整地刻画平面三体Lagrange共形周期解的稳定性对质量和离心率参数的依赖性以及由此引发的相关问题；与周期解问题相关的中心构型问题，如中心构型的计数问题，动力学性质等。本课题所研究的问题具有重要的理论意义，由于与经典力学的紧密联系，本课题也属于物理学界十分关注的领域。国际上该领域的研究近年来十分活跃。本课题组成员在此课题研究中具备扎实的基础，已做出了引起国际同行关注的重要贡献。

Hamilton系统周期运动轨道的研究课题组主要由三个单位的三位教授和一位副教授组成，他们都是活跃在相关领域前沿的数学家。这个项目五年来主要在以下几个方面取得了重要进展：N-体问题周期轨道的稳定性；哈密顿系统Hill公式及迹公式；紧流形上闭测地线的多重性与稳定性；紧星型超曲面上闭特征的平均指标等式、多重性与稳定性；利用同宿轨的Maslov指标理论判别驻波解的稳定性；辛几何中的Fukaya范畴等方面的研究。本课题组使用我们特有的并且具有标志性的方法取得了很多具有国际先进水平的研究成果, 引起了国际同行专家的关注和引用，例如：利用本课题组建立的Maslov-型指标迭代理论在国际上首次建立了研究N-体问题椭圆运动线性稳定性的分析方法；在某种较弱的条件下，证明了紧流形上闭测地线的条数的最优下界，并同时获得了相关稳定性结果等。项目执行期间，本课题组5年来已发表论文39篇，其中发表在SCI收录杂志37篇，包括发表在《Advances in Math.》、《J. Diff. Geom.》、《Arch. Rat. Mech. Anal.》、《Comm. Math. Phys.》、《J. Funct. Anal.》、《Math. Z.》、《J. Diff. Equa.》、《Cal.Variations and PDEs》等知名杂志上的论文。项目组成员共组织或参与组织国内外学术会议10个，进行国际交流并做邀请报告30多人次，进一步扩大了课题组在相关领域的国际影响。在项目执行期间，项目组成员获得何梁何利基金科学与技术进步奖1项、国家自然科学杰出青年基金1项、教育部“新世纪优秀人才支持计划”1项。另外，在项目执行期间本项目组培养毕业博士5名，毕业硕士9名。