关于Cayley图的若干研究

Cayley graphs of groups with simple construction and high symmetry are an important research field in groups and graphs. Semi-Cayley graphs are natural generalization of Cayley graphs. This project is concerning with the Cayley graphs and semi-Cayley graphs of groups. In the project, we characterize the near 2-extendable Cayley graphs of abelian groups of odd order and the 1- and 2-extendable semi-Cayley graphs of abelian groups. We study the Hamilton cycle (path) extendability of Cayley graphs and semi-Cayley graphs of groups. We study the resistance distance and Kirchhoff index of semi-Cayley graphs of abelian groups, and give the formulae for its resistance distance and Kirchhoff index. We study the path algebra of a Cayley quiver and its quotient algebra, and consider what kind of Artin algebras are quotients of path algebras of Cayley quivers. The project will enrich the study of groups and graphs and have both theoretical and pratical values.

群的Cayley图构造简单和高度对称，成为群与图的一个重要的研究领域。Semi-Cayley图是Cayley图的自然推广。本项目围绕群的Cayley图和semi-Cayley图,探索刻画奇阶交换群的Cayley图的几乎2-可扩性和交换群的semi-Cayley图的1-和2-可扩性；研究群的Cayley图和semi-Cayley图的哈密尔顿圈(路)可扩性；研究交换群的semi-Cayley图的电阻距离和基尔霍夫指标，给出它的电阻距离和基尔霍夫指标公式；研究群的Cayley箭图的路代数及它的商代数，确定什么样的Artin代数是群的Cayley箭图的路代数的商代数。本项目的研究将丰富群与图的研究内容，不仅有重要的理论意义，且具有很好的应用背景。

群作为代数对象和图作为组合对象，分别得到了广泛的研究。到了20世纪，人们开始把两者结合起来研究，应用图的直观来研究抽象群和应用群的代数性质来研究图，得到了许多重要且漂亮的结果，成为代数图论的一个重要的新的研究领域。A. Cayley 于1878 年引入群的Cayley 图的概念。Cayley图是由有限群导出的重要的高对称性图，由于具有很强的应用背景，尤其是在网络应用方面，从而得到了广泛的研究，一直是群与图的研究中一个热门的研究方向。在本项目中，我们研究了群的Cayley图的匹配可扩性，刻画了拟交换的Cayley图2－可扩性，完全分类了一般群的2－可扩的Cayley图。图的基尔霍夫指标和能量是图的重要的拓扑指标。我们给出了一般图的关联能量的一个新的上、下界，分别给出了正则图 (包含群的Cayley图) 的剖分图、全图和平行线图的关联能量的上、下界。我们得到了由正则图 (包含群的Cayley图) 导出的两类重要的图的拉普拉斯多项式，给出了它们的基尔霍夫指标计算公式和下界。我们完全确定了连通的最小度至少为2且恰有二个主特征值的三圈图。本项目的研究将丰富群与图的研究，不仅具有重要的理论意义，而且还有很好的应用前景。